<<
>>

1.5. Финансовые схемы

Выше говорилось, что семейство финансовых законов капитализа­ции и дисконтирования определяет финансовую схему, т.е. определен­ную математическую структуру, в наиболее общем и абстрактном виде описывающую финансовые операции и инвестиционные процес­сы.

Абстрактность и общность такого описания заключается в том, что в нем полностью отвлекаются от содержательного смысла (контекста) моделируемых операций и процессов, оставляя на поверхности лишь основные соотношения между отдельными финансовыми событиями, участвующими в сделках или являющихся состояниями изучаемого финансового (инвестиционного) процесса. Таким образом, финансо­вая схема — математическая структура [30], с помощью и в рамках которой строится математическая модель финансовых операций или процессов.

Исходными элементами этой структуры являются (мгновенные) финансовые события (элементы 1-го рода) и платежи за период (эле­менты 2-го рода). Из этих элементов строятся финансовые потоки (1-го и 2-го рода). Описанные выше правила актуализации задают различные преобразования этих элементов и их потоков.

Задание семейства финансовых законов капитализации и дискон­тирования позволяет определить, во-первых, правила преобразования (приведения, переноса) как отдельных финансовых событий, так и по­токов и, во-вторых, семейство отношений предпочтения (порядка) и эк­вивалентности между событиями и составленными из них потоками.

Теория свойств этих преобразований и связанных с ними отноше­ний представляет собой теорию финансовой схемы. Основное значение финансовой схемы как раз и состоит в формальном, логически строгом описании соотношений между временными и финансовыми (денеж­ными) характеристиками финансовых сделок и процессов. Именно в рамках финансовой схемы получает точную формулировку широко известный принцип финансовой математики о неравноценности (неэк­вивалентности) одинаковых и, напротив, возможной равноценности разных денежных сумм, относящихся к различным моментам времени.

Приведем теперь основные понятия и конструкции, относящиеся к финансовым схемам.

Базовым множеством (носителем) финансовой схемы является класс всевозможных финансовых событий. На формальном языке это про­сто финансовое пространство или плоскость время—деньги, являющееся декартовым произведением временной шкалы на денежную шкалу

ТхМ = {(/, С)|/еТ,СеМ}.

Вторая компонента финансовой схемы — законы капитализации и дисконтирования, которые для любого выбранного моментар, назы­ваемого полюсом (фокальной датой или моментом валоризации), определяют оператор приведения (или текущей стоимости) РУ сопос­тавляющий любому событию С) или денежной сумме С ее приведен­ное к моменту р значение У:

р

К = PVp(t, С) = PVp(C).

На оператор РУ можно смотреть как PVp v на преобразование событий (рис. 1.25):

---- ■ ' PVf:(t,C)^{p,V,).

t Р

п В однородных схемах, т.е. в схемах,

Рис. 1.25

в которых общий финансовый закон F(t, р, С) однороден по денежным суммам, оператор приведения явля­ется линейным (при фиксированных р, t). Таким образом, для оператора приведения выполняются следующие свойства: аддитивности

PVp, С, + С2) = PVpiU с,) + PVp, су;

однородности

PVf(t,*C) = XPVf(t,C).

В однородной схеме оператор приведения полностью определяется своим действием на единичных событиях, т.е. событиях вида (t, 1). В самом деле, по свойству однородности имеем

рур,с)~рур,с-\)=с-рурл).

Число /, \

V(T ,/>)

называется коэффициентом приведения (или обобщенным коэффициен­том дисконтирования).

Приведение событий к выбранному полюсу позволяет сравнивать эти события и соответствующие им денежные суммы, поскольку они относятся теперь к одному моменту времени.

Определение 1.13. Событие (f С3) не менее предпочтительнее собы­тия (t2, С2) относительнор:

(/рС^^С;),

если

PVp(^Q>PVp(t„C,).

Если каждое из событий (fp Ct), {tv С2) не менее предпочтительнее, чем другое, то говорят, что эти события эквивалентны относительно полюса р и пишут

Таким образом, эквивалентность относительно полюса р или про­сто /ьэквивалентность событий означает равенство приведенных к полюсу/) значений (текущих стоимостей) этих событий, т.е.

PV(г„ С,) = PV(tv С,). (1.13)

В однородной схеме это равенство равносильно равенству

C,v(tvp) = C2v(tvp). (1.14)

Финансовая схема называется регулярной, если коэффициент при­ведения v(/, р) отличен от нуля для всех р:

v(t, р)ф0.

Этим свойством обладают, например, схемы с самосопряженным фи­нансовым законом, поскольку для всехр, t в них

v{t,p)v{pj)^\.

В регулярной финансовой схеме в равенстве (1.13), описывающем отношение эквивалентности, задание одной денежной суммы одно­значно определяет другую. Так, из равенства (1.14) следует, что

с2=с;
v

(*2>РЇ

Тем самым определено еще одно преобразование событий, которое называется относительным эквивалентным преобразованием или от­носительным приведением. Это преобразование для выбранного по­люса р и некоторого момента г преобразует событие (/, С) в эквивалент­ное относительно полюса р событие (т, С^ |, где

Лр) _ г

Последнее равенство позволяет определить еще один оператор приведения, называемый относительным оператором приведения или относительным оператором (или р-оператором) текущей стоимости, который обозначим

Положим

т г 14 *и{т,Ру (1Л5)

При р = т относительный оператор приведения превращается в

определенный выше оператор приведения

ру{р) _ ру

р р-

Согласно определению, оператор РУ^Р] преобразует произвольное событие в ему эквивалентное относительно полюсар событие:

С[р]=РУ^]()~Сг

Оператор относительного приведения имеет простую интерпрета­цию, если в качестве полюса/? взять начальный момент для финансо­вого процесса, рассматриваемого в рамках заданной финансовой схе­мы.

Тогда для любых />/0 оператор РУ}'^ преобразует любое состояние

из траектории процесса, порожденного начальным состоянием (го> в другое событие 5 из этой же траектории (рис. 1.26).

м

50 I

Со. 5о)

т

Рис. 1.26

Заметим, что для транзитивного самосопряженного финансового закона выполняются равенства

и(т,р)

Первое выражает свойство транзитивности, второе — свойство само­сопряженности. В этом случае равенство (1.15) перепишется в виде

Таким образом, в этом случае относительный и обычный операторы приведения совпадают:

ру{р) = ру^

Относительный оператор приведения позволяет определить «при­веденное сложение» событий. Пусть (ґр С,) и (ty С2) — два события.

Оператор РУ^ приводит оба эти события в события (т,Cä') и (т,С2')

с общим моментом т. Денежные суммы, относящиеся к одному и тому

же моменту времени, можно складывать, что дает событие (т,С'+С2'), которое называется приведенной (к моменту г суммой (относительно полюсар) или просто р-суммой событий в точке г.

Относительный оператор приведения преобразует р-эквивалент- ные события в совпадающие, т.е. если

то

Ру(г)(Сі) = РУ^(С2). В самом деле,р-эквивалентность событий (?, Cs) и {tv С2) означает, что

РУрх)=РУр2)

или

Qv{tvp) = C2v{t2,p).

Тогда

ü(r ,р) ■ v(r ,р)

Отсюда следует, что приведенное сложение событий — по суще­ству операция сложения классов ^-эквивалентных событий (фак­тор-операция).

Приведенное сложение можно определить не только для двух собы­тий, но и для любого их конечного числа, т.е. для любого потока

событий. Такое сложение обобщает операцию (формального) приведе­ния потока РУр(СГ)у которая по существу представляет собой суммиро­вание событий в полюсе р.

Операция приведенного сложения для потока так же, как и обычная операция приведения потока, является «линейным продолжением» операции относительного приведения, т.е. для потока

его приведенная к т сумма есть

ркм(ср)=±ру^(ск).

Приведенное относительно полюсар значение РУ}^ (СР) потока С/7

называют /ьсуммой потока в точке т или относительной текущей стоимостью (или р-стоимостью) потока СР в точке т. Операция /^-суммирования в точке т потока заменяет поток СР единственным событием, эквивалентным относительно р всему потоку С/7. Таким образом, если

С=РУх[р)(СР), то ,

(г, С)-СУ7.

Обобщая отмеченную инвариантность относительнор~эквивалент­ности оператора относительного приведения, можно утверждать, что ^-эквивалентные потоки имеют одинаковые р-суммы в любой точке т:

с/;-о7,

то

РУ^Щ^РУ^^у

Наконец, относительный оператор приведения всегда обладает свой­ством поглощения:

ру№ оРУ^ = ру(р\

т.е. даже в случае нетранзитивных (нерасщепляемых) финансовых законов.

Таким образом, каждая финансовая схема порождает определенную ею алгебру событий и потоков. Изучение свойств этой алгебры — одна из основных задач теории данной финансовой схемы. В последующем именно эта тема будет центральной при изложении двух классических финансовых схем простых и сложных процентов. Читатель неоднок­ратно сможет убедиться в том, что все полученные ниже результаты являются конкретизацией применения общих понятий и методов, описанных в этой главе.

<< | >>
Источник: Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф.. Финансовая математика: Учебник. — М.: Гардарики, - 624 с.. 2002

Еще по теме 1.5. Финансовые схемы:

  1. Свободные схемы
  2. Организационные схемы
  3. Связанные схемы
  4. Схемы проектного финансирования
  5. Рискованные схемы
  6. Использование трехступенчатой схемы в бизнесе
  7. Ситуация "Построение схемы документооборота"
  8. НЕОБХОДИМОСТЬОРГАНИЗАЦИОННОЙ СХЕМЫ
  9. Структурно-логические схемы
  10. ШАГ 7: ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СХЕМЫ