8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов
Каждый из этого класса процессов однозначно определяется начальным состоянием или некоторой ставкой (процентной или учетной).
Динамика процесса при этом описывается уравнениемгде а — нормированный (эффективный) коэффициент роста; и — нормированный коэффициент дисконтирования, соответствующие ставке, характеризующей этот процесс. Выбирая конкретный вид ставки, получим конкретное представление динамики процесса в терминах выбранной ставки.
Выше были определены четыре основных типа процентных ставок. Каждая ставка определяет соответствующий коэффициент роста а:
— нормированная эффективная ставка /';
д=1 + /; (8.79)
— ставка начисления (фактическая) / за период начисления Л:
+/аУ'а; (8.80)
— номинальная (нормированная) ставка /(т) = I с кратностью начислений т и периодом начисления А — \/т:
\ т у
— номинальная (нормированная) непрерывно начисляемая ставка} — /(оо):
а = &.
(8.81)Были также определены четыре типа учетных ставок, каждой из которых соответствует коэффициент дисконтирования у:
— нормированная эффективная учетная ставка Ф.
(8.82)
— учетная ставка с!н за учетный период А:
и = (8.83)
— номинальная (нормированная) ставка с1(т) = ё(И) с кратностью учета т и периодом учета А = 1 /т:
1 |
( м Г
; (8.84)
т у
— номинальная (нормированная) непрерывно учитываемая ставка 8~
V = е-5. (8.85)
Заметим, что все эти определения предполагают выбор исходной временной шкалы Т, термин нормированный означает отнесенность к единичному (базовому) периоду этой шкалы.
Итак, каждая из перечисленных ставок определяет соответствующий процесс накопления (8.78). Вполне возможно, что ставки как из одного, так и из различных классов могут порождать идентичные процессы роста. Такие ставки назовем эквивалентными (в широком смысле).
Определение 8.2. Две ставки (процентные и/или учетные) называются эквивалентными (в широком смысле), если для любого начального состояния (*0, 50) процессы роста (8.78), порожденные этим состоянием и данными ставками, тождественны.
Отсюда следует, что ставки будут эквивалентными, если соответствующие коэффициенты роста и/или коэффициенты дисконтирования совпадают. Эквивалентность ставок обозначим символом
Данное определение эквивалентности позволяет отождествлять как процентные, так и учетные ставки различных классов. Поэтому мы назвали это отношение эквивалентности эквивалентностью в широком смысле.
Под эквивалентностью в узком смысле будем понимать эквивалентность двух ставок одного класса, например ставок начисления или номинальных учетных ставок и т.д.
Заметим, что для нормированных эффективных ставок как процентных, так и учетных (узкая) эквивалентность означает попросту их совпадение.
В самом деле, коэффициент роста а однозначно определяет соответствующую эффективную процентную ставку
/= У
( ;Н > 1+ — |
(8.94) |
1 |
р ) |
т ) |
О нГ =
где снова каждое равенство из цепочки дает конкретный вид эквивалентности. Например, равенство
( М У
і
р )
означает эквивалентность
ставки начисления с периодом И и /7-кратно учитываемой учетной ставки Фр).
Теоретически восемь различных классов ставок дают 8 х 8 = 64 конкретных вида эквивалентности. Из восьми видов узких эквивапент- ностей (для ставок одного вида) четыре означают равенства, остальные — нетривиальные эквивалентности. Широкие (перекрестные) эквивалентности ставок различных видов описываются равенствами из объединенной цепочки равенств (8.89) и (8.94). Все эти эквивалентности (их 8 х 7 = 56) определяются одной из возможных комбинаций. Конечно, нет никакого смысла выписывать их все. Принцип определения этих эквивалентностей чрезвычайно прост: каждое условие эквивалентности означает равенство коэффициентов роста, выраженных через соответствующие ставки.
Пример 8.14. Пусть /' = 10% — месячная ставка начисления (/г, = 1/12); = 3,31 % — квартальная (/г, = 1/4). Являются ли эквивалентными эти ставки? Найти месячную
и квартальную учетные ставки, эквивалентные в широком смысле ставкам и соответственно.
Решение. Эти ставки эквивалентны, поскольку, согласно (8.91),
(1 + 0,1)12 = (1 + 0,331)4 = 3,138.
Эффективная годовая ставка, эквивалентная этим ставкам начисления, равна 2,138, или 213,8%.
Ставки /'. и /2 соответственно эквивалентны в широком смысле месячной ставке
^^ЛИ-^Л= о,0909
и квартальной
и = = о,2486.
1/4 1 + /і/л 1 + 0,331
1/4
Пример 8.15. Показать, что годовая номинальная ставка /(,!г|=120% с ежемесячным (й ~ 1/12) начислением эквивалентна годовой номинальной ставке /;",= 132,4%
с ежеквартальным (Н2 = 1/4) начислением.
Решение. В самом деле, эти ставки порождают месячную
и квартальную ^
■й)
/2=-*- = 0,331
ставки начисления, которые, согласно предыдущему примеру, эквивалентны.
Эквивалентность ставок позволяет однозначно выразить значение
одной из эквивалентных ставок через другую. Так, из эквивалентности
/Л и у, задаваемой равенством
/. . \У*і л . (1 + Ч) =(1+'Й1) ,
ползаем
Задав ставку за единичный временной промежуток
можно получить целое семейство {/й} эквивалентных і[ ставок начисления для произвольных периодов начисления /г:
Еще по теме 8.6. Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов:
- Эквивалентность процентных ставок и финансовая эквивалентность платежей
- S 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
- S 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- 2.5. Эквивалентность процентных ставок различного типа
- Расчет с применением сложных процентных ставок
- § 4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- § 4.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- Сложные проценты
- 4.1. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
- 2.3. Сложные ставки ссудных процентов
- Модели простых и сложных процентов
- 4.2. ЧАСТОТА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- § 3.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- § 3.3. СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ СЛОЖНОЙ СТАВКИ ССУДНОГО ПРОЦЕНТА
- Глава 3. СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- § 3.4. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ. НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
- 8.4. Виды процентных ставок и методы начисления процентов