2.7.Дюрация потоков платежей
этого потока: А = ^Ак , где Ак = Як ехр(-^ 1пц) есть современная
к
величина к-то платежа.
Определение. Дюрацией потока платежей называется эластичность современной величины потока по коэффициенту наращения Е* = {йА / ф): (А / ц), взятая со знаком «минус».
Обозначается Оиг(9*), итак Биг(^) = -Е* .
Напомним определение эластичности. Пусть х — величина-аргумент, у — величина-функция от х, тогда эластичностью у по отношению кх в точке х0 называется предел
отношения относительного изменения величины у к относительному изменению величины X, т.е.
(Ау /у0): (Ах:/х0) при Ах -> 0; обозначается (х0); таким образом,
Щ (*о) = (4у 'Уо)'(>о.
Так что, если Еух = -2, то при увеличении х на 1% у уменьшается на 2%.
Итак, дюрация характеризует чувствительность современной величины потока к изменению коэффициента наращения, — если дюрация потока равна 2, то при увеличении коэффициента наращения на 1% современная величина потока уменьшается на 2%. Ясно, что дюрация является одной из важнейших характеристик потока платежей.Найдем дюрацию потока платежей , продифференцировав современную величину потока по коэффициенту наращения. Итак,
с1А / с1\х = й следовательно, |
/ \
Е Кк ехРН*1пи) / Ф = Е *клк ехР(Н* - !)1п ,
V к ) к
Е* =((1А/с111):(А/11)
гкКк ехр(Н* - 1)1пц) :(А/\х) = = -Ък^к ехрН, 1пц)/Л) = / Л) = -чМЯ).
А: А:
Таким образом, ) = * * (Л1А) •
к
Предположим теперь, что все платежи неотрицательны, тогда все величины Ак также неотрицательны и их сумма в точности равна А, так что сумма всех величин Ак/А равна 1. Поэтому отношения Ак / А можно трактовать как вероятности, а величину ~ как средний момент платежей в следующем смыс-
к
ле: определим случайную величину (с.в.) Т как дискретную, такую, что
Р(Т = 1к) = Ак/А,
тогда ее математическое ожидание Т = М[Т] = ^1к(Ак1 А) равно,
к
как легко видеть,
^к(Ак/А) = В т(Щ к
Итак, имеем следующий вывод: средний момент платежа и дюрация потока неотрицательных платежей равны.
Поясним как содержательно понять, что такое средний момент платежа.
Поместим в мешок денежные суммы Ак в рублевых купюрах (предположим, что все эти суммы — целые числа) и на каждой купюре, входящей в сумму Ак, напишем гк . Встряхнем мешок, чтобы купюры перемешались. Вытащим одну купюру и прочтем, какое ^
на ней написано. Очевидно, что полученная с.в. и есть Г, а ее математическое ожидание или среднее значение и есть дюрация.
Теперь можно сказать, что если дюрация потока равна 2, то при увеличении коэффициента наращения на 1% средний момент платежа увеличивается на 2%. Очевидно, что эластичность современной величины потока неотрицательных платежей по коэффициенту наращения отрицательна, так что дюрация такого потока положительна.
Замечание. «Вероятности» Ак/А можно найти, дисконтируя платежи не обязательно к начальному моменту, а к любому моменту времени, так как эти отношения одинаковы. В частности, если у потока есть наращенная величина, то платежи можно дисконтировать к конечному моменту потока, даже к оо .
Для иллюстрации найдем дюрацию 5-летней ренты с годовым платежом К = 1000 руб. и годовой процентной ставкой / = 10% . Случайная величина Т имеет ряд распределения:
0 1 2 3 4 5
1------- 1------- 1------- 1------- 1------- 1
0,24 0,22 0,20 0,18 0,16
Поясним, как получились вероятности 0,24 и т.д. Наращенная величина ренты равна 6105 руб., а наращенные величины платежей, т.е. дисконтированных к концу 5-го года, равны соответственно 1464, 1331 и т.д., так что 1454/6105 == 0,24 и т.д. Вычисляя дюрацию как математическое ожидание с.в. 7", получим:
1(0,24) + 2(0,22) + ... = 2,8.
Еще по теме 2.7.Дюрация потоков платежей:
- 6. Анализ вероятностных распределений потоков платежей
- Тема 3. Расчеты потоков платежей
- Поток платежей
- Анализ вероятностных распределений потоков платежей.
- Корректировка потока платежей с целью уменьшения максимальной и средней потребности в остатках денежных активов
- § 22.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЮРАЦИИ
- 2.Упрощенная схема оценки при использовании прогноза чистых операционных денежных потоков и отдельном учете связанных с платежами постоянных издержек
- 5 22.4. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ДЮРАЦИЯ
- § 22.3. СВЯЗЬ ДЮРАЦИИ И КОЭФФИЦИЕНТА ЭЛАСТИЧНОСТИ НАСТОЯЩЕЙ СТОИМОСТИ БУДУЩИХ ДОХОДОВ ПО СТАВКЕ ПРОЦЕНТА
- Глава 22. ДЮРАЦИЯ
- 68. Понятие денежного потока. Виды и классификация денежных потоков, их роль в управлении финансами
- 10.3.4. Сроки уплаты авансовых платежей по ЕСН Авансовые платежи в IV квартале
- 12.3. Система платежей из прибыли в бюджет Платежи из прибыли: размер и классификация
- 2.2.2. Характеристика и порядок взимания платежей за пользование недрами Разовые платежи за пользование недрами