<<
>>

2.7.Дюрация потоков платежей

Пусть / и ц = (1 + /) — процентная ставка и коэффициент нара­щения соответственно. Пусть Ш = (Лк^к) — поток платежей, Як — величина платежа в момент гк .
Обозначим А современную величину

этого потока: А = ^Ак , где Ак = Як ехр(-^ 1пц) есть современная

к

величина к-то платежа.

Определение. Дюрацией потока платежей называется эла­стичность современной величины потока по коэффициенту на­ращения Е* = {йА / ф): (А / ц), взятая со знаком «минус».

Обозначается Оиг(9*), итак Биг(^) = -Е* .

Напомним определение эластичности. Пусть х — величина-аргумент, у — величина-функция от х, тогда эла­стичностью у по отношению кх в точке х0 называется предел

отношения относительного изменения величины у к относи­тельному изменению величины X, т.е.

(Ау /у0): (Ах:/х0) при Ах -> 0; обозначается (х0); таким образом,

Щ (*о) = (4у 'Уо)'(>о.

Так что, если Еух = -2, то при увеличении х на 1% у уменьша­ется на 2%.

Итак, дюрация характеризует чувствительность со­временной величины потока к изменению коэффициента нара­щения, — если дюрация потока равна 2, то при увеличении коэф­фициента наращения на 1% современная величина потока умень­шается на 2%. Ясно, что дюрация является одной из важнейших характеристик потока платежей.

Найдем дюрацию потока платежей , продифференцировав современную величину потока по коэффициенту наращения. Итак,

с1А / с1\х = й следовательно,

/ \

Е Кк ехРН*1пи) / Ф = Е *клк ехР(Н* - !)1п ,

V к ) к

Е* =((1А/с111):(А/11)

гкКк ехр(Н* - 1)1пц) :(А/\х) = = -Ък^к ехрН, 1пц)/Л) = / Л) = -чМЯ).

А: А:

Таким образом, ) = * * (Л) •

к

Предположим теперь, что все платежи неотрицательны, тогда все величины Ак также неотрицательны и их сумма в точности равна А, так что сумма всех величин Ак/А равна 1. Поэтому отношения Ак / А можно трактовать как вероятности, а величину ~ как средний момент платежей в следующем смыс-

к

ле: определим случайную величину (с.в.) Т как дискретную, та­кую, что

Р(Т = 1к) = Ак/А,

тогда ее математическое ожидание Т = М[Т] = ^1кк1 А) равно,

к

как легко видеть,

^кк/А) = В т(Щ к

Итак, имеем следующий вывод: средний момент платежа и дюрация потока неотрицательных платежей равны.

Поясним как содержательно понять, что такое средний момент платежа.

Поместим в мешок денежные суммы Ак в рублевых купюрах (предположим, что все эти суммы — целые числа) и на каждой ку­пюре, входящей в сумму Ак, напишем гк . Встряхнем мешок, чтобы купюры перемешались. Вытащим одну купюру и прочтем, какое ^

на ней написано. Очевидно, что полученная с.в. и есть Г, а ее мате­матическое ожидание или среднее значение и есть дюрация.

Теперь можно сказать, что если дюрация потока равна 2, то при увеличении коэффициента наращения на 1% средний мо­мент платежа увеличивается на 2%. Очевидно, что эластичность современной величины потока неотрицательных платежей по ко­эффициенту наращения отрицательна, так что дюрация такого потока положительна.

Замечание. «Вероятности» Ак/А можно найти, дисконти­руя платежи не обязательно к начальному моменту, а к любому моменту времени, так как эти отношения одинаковы. В частности, если у потока есть наращенная величина, то платежи можно дис­контировать к конечному моменту потока, даже к оо .

Для иллюстрации найдем дюрацию 5-летней ренты с годовым платежом К = 1000 руб. и годовой процентной ставкой / = 10% . Слу­чайная величина Т имеет ряд распределения:

0 1 2 3 4 5

1------- 1------- 1------- 1------- 1------- 1

0,24 0,22 0,20 0,18 0,16

Поясним, как получились вероятности 0,24 и т.д. Наращенная величина ренты равна 6105 руб., а наращенные величины плате­жей, т.е. дисконтированных к концу 5-го года, равны соответст­венно 1464, 1331 и т.д., так что 1454/6105 == 0,24 и т.д. Вычисляя дюрацию как математическое ожидание с.в. 7", получим:

1(0,24) + 2(0,22) + ... = 2,8.

<< | >>
Источник: Малыхин В. И.. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, — 237 с.. 2003

Еще по теме 2.7.Дюрация потоков платежей:

  1. 6. Анализ вероятностных распределений потоков платежей
  2. Тема 3. Расчеты потоков платежей
  3. Поток платежей
  4. Анализ вероятностных распределений потоков платежей.
  5. Корректировка потока платежей с целью уменьшения максимальной и средней потребности в остатках денежных активов
  6. § 22.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЮРАЦИИ
  7. 2.Упрощенная схема оценки при использовании прогноза чистых операционных денежных потоков и отдельном учете связанных с платежами постоянных издержек
  8. 5 22.4. МОДИФИЦИРОВАННАЯ ДЮРАЦИЯ
  9. § 22.3. СВЯЗЬ ДЮРАЦИИ И КОЭФФИЦИЕНТА ЭЛАСТИЧНОСТИ НАСТОЯЩЕЙ СТОИМОСТИ БУДУЩИХ ДОХОДОВ ПО СТАВКЕ ПРОЦЕНТА
  10. Глава 22. ДЮРАЦИЯ
  11. 68. Понятие денежного потока. Виды и классификация денежных потоков, их роль в управлении финансами
  12. 10.3.4. Сроки уплаты авансовых платежей по ЕСН Авансовые платежи в IV квартале
  13. 12.3. Система платежей из прибыли в бюджет Платежи из прибыли: размер и классификация
  14. 2.2.2. Характеристика и порядок взимания платежей за пользование недрами Разовые платежи за пользование недрами