<<
>>

16.4. Портфель Тобина минимального риска

Через несколько лет после исследования Марковича другой крупнейший американский экономист Д. Тобин (D. Tobin — также впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с неко­торой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть т0 — эффективность безрисковых бумаг (фактически это безрисковая банковская ставка, в СССР таковой можно было считать годовую процентную ставку Сбербанка по вкладам до востребования, она была 2—3%), a xq — доля капитала, в них вложенного, тогда в рисковую часть портфеля вложена (1 - л

U=1

п

хото + Yeximi = тР > (16.3)

/=1 п

*о + 2>/ = i- /=1

Изложим теперь окончательное решение этой задачи, полу­ченное Тобиным. Пусть V — матрица ковариаций рисковых ви­дов ценных бумаг, X = (*/), М = (ті) — векгор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в /-й вид рисковых ценных бумаг и ожи­даемых эффекгивностей этого вида, / = 1, .., п.

Пусть также / — «-мерный векгор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей есть

Здесь К-1 — матрица, обратная к К В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе не указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, оп­ределяемая рынком и не зависящая от инвестора, У~1(М~ гщі) — векгор-столбец размерности п. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля тр. Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от тР. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от тр.

Однако сумма компонент вектора X зависит от тР, а именно, компоненты вектора X* пропорциональ­но увеличиваются с ростом тР, поэтому доля безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля УР = ХТУХ подставим оптимальный вектор X* из формулы (16.4), обозначив знаменатель формулы (16.3) через й2. Получим

УР = [(тР - т0У/сі4] [у1{М - т^у[у~1(М - т0і)]=

= \(тР - т0У/с14](М- т0і)У~1 (м - т0і) = = (тр0)2/сі2.

Окончательно:

УР -(тР - то)2/сі2, или гР = (тР — т$)/(1.

Можно также написать выражение эффективности оптималь­ного портфеля от его риска: тР — то = с1гР или тР = Щ) + с1гр.

Видно, что зависимости эти линейные.

Будем называть полученный оптимальный портфель портфе­лем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина — это портфель Марковича при наличии на рынке безрисковых цен­ных бумаг.

16.5. Портфель Марковича и Тобина максимальной эффективности

Постановку Марковнца задачи формирования оптимального портфеля (16.2) или (16.3) можно словами сформулировать так: сформировать портфель минимального риска из всех портфелей, имеющих эффективность не менее заданной.

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех портфелей, имеющих риск не более заданного:

Найти х/, максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля

Шр = ^ х1т[ -> шах /

при условии, что обеспечивается заданное значение риска

портфеля, т.е. ^у = гр ;

и

поскольку x,- — доли, то в сумме они должны составлять едини­цу: =1.

/

Назовем данную формализацию портфелем Марковица мак­симальной эффективности.

Пример 4. С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (4,10); (10,40); (40, 80) (те же ценные бумаги, что и в при­мере 1); верхняя граница риска задана равной 50. Доли бумаг оказа­лись равными: 6%, 34%, 60%, эффективность — 27,6, риск — 49,9 (компьютер перебирал доли ценных бумаг с шагом 0,02 — этим и объясняется несовпадение риска с заданным).

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формиро­вания портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина (см. § 16.3):

Оптимальное значение долей х рисковых бумаг есть

X* = , Гр У~\М - то/). (16.5)

у1(М-т01)у-1(М~т01) В матрично-векгорной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безриско­вых ценных бумаг такова:

х0т0 + МХ —» шах,

ХУХ = 4 > х0+1Х = 1

(операция транспонирования подразумевается, как и прежде, см. комментарий к формуле (16.4)).

Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа:

I = х0т0 + ИХ + Х0(ХУХ - г£)+ Хх0 + IX -1).

Находим частные производные Ь по X и по х$ и приравнива­ем их к нулю:

[йЫ(ЛХ = О М)+А,1 =0,

\dLldx0=0, получаем [м\ Х10уХ + = 0.

Выразим из второго уравнения и подставим в первое, по­лучим М - то! = -хоУХ, так что Х= (~1/Х0)У~1(М - то/).

Для нахождения Х0 подставим найденное X в равенство ХУХ = гр , получим

(-1/^0 - т01)У~1У{-1 /Х0 )У~1 (М - т0/) = г2Р , (так как матрица У симметрична, то транспонированная обрат­ная к ней матрица совпадает с обратной же). Далее имеем

(-1/Х0У] (М-т01)у-1(М-т01)=г*.

Обозначая (М - щ1)У~1(М - щ1) через й1, получаем

(-1/А.о )=/>/

<< | >>
Источник: Малыхин В. И.. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, — 237 с.. 2003

Еще по теме 16.4. Портфель Тобина минимального риска:

  1. Доходность и измерители риска по портфелю
  2. Оценка инвестиционного портфеля по критерию риска
  3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЫВОД МОДЕЛИ БАУМОЛЯ-ТОБИНА И ПОРТФЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ ТОБИНА
  4. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЫВОД МОДЕЛИ БАУМОЛЯ-ТОБИНА И ПОРТФЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ ТОБИНА
  5. Математическое приложение 2: Расчет предельной доходности риска рыночного портфеля
  6. 52. Хеджирование. Минимизация риска. Портфель ценных бумаг
  7. портфельная модель тобина
  8. портфельная модель тобина
  9. q - теория инвестиций Тобина
  10. 6.4. АНАЛИЗ РЫНОЧНОГО РИСКА 6.4.1. Понятие риска на рынке товаров и его типы и факторы
  11. Модель оптимального управления наличностью Баумоля-Тобина
  12. 7.3.5. Минимальный налог
  13. Качественная оценка аудиторского риска для отчетности в целом. Компоненты аудиторского риска
  14. Колебание курса минимальное
  15. 1.7.1. Понятие риска, виды риска
  16. 5.2. Минимальный размер оплаты труда