16.4. Портфель Тобина минимального риска
Пусть т0 — эффективность безрисковых бумаг (фактически это безрисковая банковская ставка, в СССР таковой можно было считать годовую процентную ставку Сбербанка по вкладам до востребования, она была 2—3%), a xq — доля капитала, в них вложенного, тогда в рисковую часть портфеля вложена (1 - л
U=1
п
хото + Yeximi = тР > (16.3)
/=1 п
*о + 2>/ = i- /=1
Изложим теперь окончательное решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть V — матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X = (*/), М = (ті) — векгор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в /-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффекгивностей этого вида, / = 1, .., п.
Пусть также / — «-мерный векгор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей естьЗдесь К-1 — матрица, обратная к К В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе не указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, У~1(М~ гщі) — векгор-столбец размерности п. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля тр. Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от тР. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от тр.
Однако сумма компонент вектора X зависит от тР, а именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом тР, поэтому доля безрисковых вложений будет при этом сокращаться.Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля УР = ХТУХ подставим оптимальный вектор X* из формулы (16.4), обозначив знаменатель формулы (16.3) через й2. Получим
УР = [(тР - т0У/сі4] [у1{М - т^у[у~1(М - т0і)]=
= \(тР - т0У/с14](М- т0і)У~1 (м - т0і) = = (тр-т0)2/сі2.
Окончательно:
УР -(тР - то)2/сі2, или гР = (тР — т$)/(1.
Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска: тР — то = с1гР или тР = Щ) + с1гр.
Видно, что зависимости эти линейные.
Будем называть полученный оптимальный портфель портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина — это портфель Марковича при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.
16.5. Портфель Марковича и Тобина максимальной эффективности
Постановку Марковнца задачи формирования оптимального портфеля (16.2) или (16.3) можно словами сформулировать так: сформировать портфель минимального риска из всех портфелей, имеющих эффективность не менее заданной.
Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех портфелей, имеющих риск не более заданного:
Найти х/, максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля
Шр = ^ х1т[ -> шах /
при условии, что обеспечивается заданное значение риска
портфеля, т.е. ^у = гр ;
и
поскольку x,- — доли, то в сумме они должны составлять единицу: =1.
/
Назовем данную формализацию портфелем Марковица максимальной эффективности.
Пример 4. С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (4,10); (10,40); (40, 80) (те же ценные бумаги, что и в примере 1); верхняя граница риска задана равной 50. Доли бумаг оказались равными: 6%, 34%, 60%, эффективность — 27,6, риск — 49,9 (компьютер перебирал доли ценных бумаг с шагом 0,02 — этим и объясняется несовпадение риска с заданным).
Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формирования портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина (см. § 16.3):
Оптимальное значение долей х рисковых бумаг есть
X* = , Гр У~\М - то/). (16.5)
у1(М-т01)у-1(М~т01) В матрично-векгорной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг такова:
х0т0 + МХ —» шах,
ХУХ = 4 > х0+1Х = 1
(операция транспонирования подразумевается, как и прежде, см. комментарий к формуле (16.4)).
Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа:
I = х0т0 + ИХ + Х0(ХУХ - г£)+ Хх(х0 + IX -1).
Находим частные производные Ь по X и по х$ и приравниваем их к нулю:
[йЫ(ЛХ = О М)+А,1 =0,
\dLldx0=0, получаем [м\ Х10уХ + = 0.
Выразим из второго уравнения и подставим в первое, получим М - то! = -хоУХ, так что Х= (~1/Х0)У~1(М - то/).
Для нахождения Х0 подставим найденное X в равенство ХУХ = гр , получим
(-1/^0 - т01)У~1У{-1 /Х0 )У~1 (М - т0/) = г2Р , (так как матрица У симметрична, то транспонированная обратная к ней матрица совпадает с обратной же). Далее имеем
(-1/Х0У] (М-т01)у-1(М-т01)=г*.
Обозначая (М - щ1)У~1(М - щ1) через й1, получаем
(-1/А.о )=/>/
Еще по теме 16.4. Портфель Тобина минимального риска:
- Доходность и измерители риска по портфелю
- Оценка инвестиционного портфеля по критерию риска
- МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЫВОД МОДЕЛИ БАУМОЛЯ-ТОБИНА И ПОРТФЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ ТОБИНА
- МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЫВОД МОДЕЛИ БАУМОЛЯ-ТОБИНА И ПОРТФЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ ТОБИНА
- Математическое приложение 2: Расчет предельной доходности риска рыночного портфеля
- 52. Хеджирование. Минимизация риска. Портфель ценных бумаг
- портфельная модель тобина
- портфельная модель тобина
- q - теория инвестиций Тобина
- 6.4. АНАЛИЗ РЫНОЧНОГО РИСКА 6.4.1. Понятие риска на рынке товаров и его типы и факторы
- Модель оптимального управления наличностью Баумоля-Тобина
- 7.3.5. Минимальный налог
- Качественная оценка аудиторского риска для отчетности в целом. Компоненты аудиторского риска
- Колебание курса минимальное
- 1.7.1. Понятие риска, виды риска
- 5.2. Минимальный размер оплаты труда