<<
>>

10.4. Непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда

Потоки, с которыми мы имели дело до сих пор, относились к классу дискретных. Именно дискретность потока приводит к скачкам функ­ции 5(0 в моменты поступления или выбытия сумм из потока.
Очевид­но, если суммы из потока относительно малы, то такие «скачки» будут также относительно малыми. Поток, состоящий из «очень малых» сумм с малыми временными интервалами между ними, можно считать «практически непрерывным» и функцию состояния S(t) фонда, пред­ставляющую собой «реакцию» на такой поток, также можно считать практически непрерывной.

В физике поток жидкости или газа считается непрерывным, хотя, как известно, и жидкость, и газ имеют дискретную, молекулярную структуру, представляющую собой поток частиц. Точно так же можно считать непрерывными денежные потоки, связанные с крупными фондами, например поток ежедневных поступлений и изъятий для очень большого банка и т.п.

Для финансовых систем с непрерывными потоками можно напи­сать уравнения динамики вполне аналогичные тем, что были получены для дискретных потоков.

В некотором смысле эти уравнения даже проще, чем для дискретного случая. Однако для их получения указание составляющих поток денежных сумм в различные моменты времени уже невозможно, поскольку для непрерывных потоков суммы, приходящие­ся на малые промежутки времени, малы и при уменьшении этих проме­жутков стремятся к нулю, так что о сумме потока в точке говорить нельзя, она просто равна нулю. Поэтому непрерывный поток (см. § 1.2) можно описывать двояко: либо с помощью функций промежутков, либо с помо­щью функции времени, называемой плотностью потока. Обе эти харак­теристики тесно связаны между собой. В § 1.2 даны все необходимые определения, здесь мы их лишь кратко напомним.

Величина V потока Счесть функция промежутков времени, сопос­тавляющая каждому промежутку / с Т соответствующее значение

VCF(J) = V(J).

При этом величина Vявляется аддитивной функцией промежутка:

V(J) - V(J{) + К(У2),

если J = Jl U Jr J]C\J2 = 0) т.е. для непересекающихся промежутков /2, дающих в сумме промежуток /, значение величины для промежутка / есть сумма значений для соответствующих промежутков и Jr

Непрерывность потока означает, что величина потока мала для малых промежутков или, более точно, V(J) —» 0, если |У| —» 0, где \J| — длина промежутка J.

Для непрерывного потока величина потока в точке я, т.е. для отрезка J = [а, а], будет равна нулю:

V(la,a]) = 0.

Отсюда и из свойства аддитивности, в частности, следует, что значение величины Кнепрерывного потока CFна промежутке не зависит от вида промежутка:

V({a,b]) = V([a,b)) = V((a,b}) = V{(a,b)).

I

Поэтому для непрерывных потоков их величину записывают просто как функцию концов промежутка, т.е. для промежутка J = < а, Ь> (любого вида) пишут V(J) = V(a, b).

Функция промежутка есть функция двух переменных, и поэтому не слишком удобна, хотя всю теорию можно строить исходя исключи ­тельно из такого представления потока. Но более удобно и на практике чаще всего встречается использование другого способа представления потока. Это представление основано на понятии плотности (по време­ни) потока.

Для потока, заданного функцией V(tv t2), плотностью в момент времени / называется величина

u(t)= lirn v 1 t так что при ДГ —> 0 получим

| а а

где — нормированный дисконтный множитель.

Полученный предел естественно назвать накопленным к моменту времени Ь значением непрерывного потока с плотностью

1+/Г ал

а

Точно так же из приближенного равенства для приведенного к а значения потока СУ7

РК №)=Хсу- = у-м,

к=0 к=0

переходя к пределу при АТ —> 0, получим

РУ.(СР) = \11(г)тГ('*

к=О 1=0

откуда при Д/ —> 0 получим

РУр(СР) = ^(і)ь"'Чі.

(10.18)

а

(».41 Г

В нашем случае поток С/7 был сосредоточен на отрезке [а, Ь]. На практике все потоки, как правило, финитны, т.е. сосредоточены на некоторых промежутках. Поэтому можно переписать последнюю фор­мулу в несколько более общем виде

РУг{СР)=\^)у'-'А1. (10.19)

—ОС

Эта формула для потока, сосредоточенного на отрезке [а, Ь], дает тот же результат, что и формула (10.18), поскольку }л(ґ) = 0 вне отрезка [а, Ь].

В описании динамики финансовой системы с дискретным потоком важную роль играло понятие временной стоимости потока на проме­жутке (о, Ь\.

В правой части здесь стоит накопленное (к 6) значение для сужения, потока С/7на промежуток (а, Ь]. Сужение на этот промежуток непре­рывного потока с плотностью проще всего описать сужением плотности

"(/)=1о,

Поток с плотностью Д(0 будет уже сосредоточен на промежутке (а, Ь\. Теперь, дословно воспроизводя определение временнбй стоимо­сти, данное для дискретного случая, получим

а

Теперь все готово для получения уравнения динамики финансовой системы, изменяющейся под действием постоянной процентной став­ки / и внешнего непрерывного потока С/7с плотностью /ДО- Рассмотрим

состояние системы S на малом промежутке [/, t + А]. Если S{t) — состояние в момент t, то изменение состояния S(t + А) - S(t) определя­ется, во-первых, процентным ростом по ставке / за время А и, во- вторых, поступлением денежных сумм за это время. Проценты за время А составят

5(г)(1 + /)* - S(t) = S{t)[( 1 + if -1]= S{t)Sh,

где 5— 1п(1 + i) — интенсивность процентного роста.

Величина денежных сумм, поступивших в систему, за промежуток (/, t + А) за счет внешнего потока, задаваемого плотностью }i{1), составляет

V(tJ+h)~ju(t)h.

Таким образом, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем А, получаем

S(t+h)-S(t)~o$(t)h+v(t)h,

откуда . . , .

и, переходя к пределу при А —> 0, получим

ds(t)

= SS(t) + fi(t). (10.20)

dt

Это дифференциальное уравнение динамики финансовой системы. Оно относится к одному из простейших типов обыкновенных диффе­ренциальных уравнений, к так называемым линейным неоднородным уравнениям 1-го порядка. Если внешний поток нулевой, т.е.

МО = 0,

то уравнение становится однородным

«и»

и, как мы уже знаем (см. гл. 8), оно описывает обычный экспоненци­альный процентный рост:

5(0=5(,0й=5(0(1+/Г.

Решение неоднородного уравнения, как легко показать (см. [18]), следующее:

Для 70 = 0 и 5(г0) = эта формула принимает особенно простой вид

/

= (Ю.22)

0

(10.23)

Заметим, что поскольку

е6 = 1 +/,

то

е*'-" = (1 + /)'-'. Но тогда формулу (10.21) можно переписать как

5(,) = 5(0(1+Ір+Н)(1+) = ск.

Отсюда для / = 0 получим

'г Г /

V

) = V + (и^й 5 =

ИЛИ

т.е. приведенное к моменту г = 0 состояние равно сумме начального состояния и приведенной к / — 0 величины потока.

Теория систем с непрерывными потоками вполне аналогична тео­рии систем с дискретными потоками, с той лишь разницей, что для нахождения текущих значений дискретного потока дисконтируются его составляющие суммы С(/), а для непрерывного потока дисконтиру­ется плотность ju(t) и, естественно, суммирование для дискретного потока переходит в интегрирование для непрерывного.

При описании динамики фонда с внешним потоком мы всюду предполагали, что автономный рост, т.е. рост без учета внешнего потока, подчиняется показательному закону по фиксированной про­центной ставке. В предыдущей главе рассмотрен случай автономного роста с непрерывно меняющейся процентной ставкой. Соответствую­щее однородное дифференциальное уравнение для S имело вид

d-f=sm»,

где S(t) — переменная интенсивность роста.

Объединяя эту модель с моделью непрерывного потока, можно сразу записать дифференциальное уравнение для S(t) в случае внешне­го потока:

(10.24)

Это линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Однако в отли­чие от стационарного случая

5(t) * 5

данное уравнение имеет непостоянный коэффициент 6(0- Тем не менее можно получить в общем виде решение и для этого уравнения (см. [18]):

(10.25)

где

(10.26)

— нестационарная функция автономного роста с интенсивностью

<< | >>
Источник: Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф.. Финансовая математика: Учебник. — М.: Гардарики, - 624 с.. 2002

Еще по теме 10.4. Непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда:

  1. 12.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОТОКОВ В БАНКОВСКИХСИСТЕМАХ
  2. 6. Анализ вероятностных распределений потоков платежей
  3. Тема 3. Расчеты потоков платежей
  4. Поток платежей
  5. 12.3. Моделирование динамики потоков в жилищно-коммунальном хозяйстве
  6. РАЗДЕЛ 12ОПЫТ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ПОТОКОВ В БИЗНЕС-СИСТЕМАХ
  7. 9.1. Модели в виде одновременных уравнений: структурная и приведенная форма уравнений
  8. Анализ вероятностных распределений потоков платежей.
  9. Корректировка потока платежей с целью уменьшения максимальной и средней потребности в остатках денежных активов
  10. 2.Упрощенная схема оценки при использовании прогноза чистых операционных денежных потоков и отдельном учете связанных с платежами постоянных издержек
  11. 68. Понятие денежного потока. Виды и классификация денежных потоков, их роль в управлении финансами