10.4. Непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда
В физике поток жидкости или газа считается непрерывным, хотя, как известно, и жидкость, и газ имеют дискретную, молекулярную структуру, представляющую собой поток частиц. Точно так же можно считать непрерывными денежные потоки, связанные с крупными фондами, например поток ежедневных поступлений и изъятий для очень большого банка и т.п.
Для финансовых систем с непрерывными потоками можно написать уравнения динамики вполне аналогичные тем, что были получены для дискретных потоков.
В некотором смысле эти уравнения даже проще, чем для дискретного случая. Однако для их получения указание составляющих поток денежных сумм в различные моменты времени уже невозможно, поскольку для непрерывных потоков суммы, приходящиеся на малые промежутки времени, малы и при уменьшении этих промежутков стремятся к нулю, так что о сумме потока в точке говорить нельзя, она просто равна нулю. Поэтому непрерывный поток (см. § 1.2) можно описывать двояко: либо с помощью функций промежутков, либо с помощью функции времени, называемой плотностью потока. Обе эти характеристики тесно связаны между собой. В § 1.2 даны все необходимые определения, здесь мы их лишь кратко напомним.Величина V потока Счесть функция промежутков времени, сопоставляющая каждому промежутку / с Т соответствующее значение
VCF(J) = V(J).
При этом величина Vявляется аддитивной функцией промежутка:
V(J) - V(J{) + К(У2),
если J = Jl U Jr J]C\J2 = 0) т.е. для непересекающихся промежутков /2, дающих в сумме промежуток /, значение величины для промежутка / есть сумма значений для соответствующих промежутков и Jr
Непрерывность потока означает, что величина потока мала для малых промежутков или, более точно, V(J) —» 0, если |У| —» 0, где \J| — длина промежутка J.
Для непрерывного потока величина потока в точке я, т.е. для отрезка J = [а, а], будет равна нулю:
V(la,a]) = 0.
Отсюда и из свойства аддитивности, в частности, следует, что значение величины Кнепрерывного потока CFна промежутке не зависит от вида промежутка:
V({a,b]) = V([a,b)) = V((a,b}) = V{(a,b)).
I
Поэтому для непрерывных потоков их величину записывают просто как функцию концов промежутка, т.е. для промежутка J = < а, Ь> (любого вида) пишут V(J) = V(a, b).
Функция промежутка есть функция двух переменных, и поэтому не слишком удобна, хотя всю теорию можно строить исходя исключи тельно из такого представления потока. Но более удобно и на практике чаще всего встречается использование другого способа представления потока. Это представление основано на понятии плотности (по времени) потока.
Для потока, заданного функцией V(tv t2), плотностью в момент времени / называется величина
u(t)= lirn v 1 t так что при ДГ —> 0 получим
| а а
где — нормированный дисконтный множитель.
Полученный предел естественно назвать накопленным к моменту времени Ь значением непрерывного потока с плотностью
1+/Г ал
а
Точно так же из приближенного равенства для приведенного к а значения потока СУ7
РК №)=Хсу- = у-м,
к=0 к=0
переходя к пределу при АТ —> 0, получим
РУ.(СР) = \11(г)тГ('*
к=О 1=0
откуда при Д/ —> 0 получим
РУр(СР) = ^(і)ь"'Чі.
(10.18)а
(».41 Г |
В нашем случае поток С/7 был сосредоточен на отрезке [а, Ь]. На практике все потоки, как правило, финитны, т.е. сосредоточены на некоторых промежутках. Поэтому можно переписать последнюю формулу в несколько более общем виде
+«
РУг{СР)=\^)у'-'А1. (10.19)
—ОС
Эта формула для потока, сосредоточенного на отрезке [а, Ь], дает тот же результат, что и формула (10.18), поскольку }л(ґ) = 0 вне отрезка [а, Ь].
В описании динамики финансовой системы с дискретным потоком важную роль играло понятие временной стоимости потока на промежутке (о, Ь\.
В правой части здесь стоит накопленное (к 6) значение для сужения, потока С/7на промежуток (а, Ь]. Сужение на этот промежуток непрерывного потока с плотностью проще всего описать сужением плотности
"(/)=1о,
Поток с плотностью Д(0 будет уже сосредоточен на промежутке (а, Ь\. Теперь, дословно воспроизводя определение временнбй стоимости, данное для дискретного случая, получим
а
Теперь все готово для получения уравнения динамики финансовой системы, изменяющейся под действием постоянной процентной ставки / и внешнего непрерывного потока С/7с плотностью /ДО- Рассмотрим
состояние системы S на малом промежутке [/, t + А]. Если S{t) — состояние в момент t, то изменение состояния S(t + А) - S(t) определяется, во-первых, процентным ростом по ставке / за время А и, во- вторых, поступлением денежных сумм за это время. Проценты за время А составят
5(г)(1 + /)* - S(t) = S{t)[( 1 + if -1]= S{t)Sh,
где 5— 1п(1 + i) — интенсивность процентного роста.
Величина денежных сумм, поступивших в систему, за промежуток (/, t + А) за счет внешнего потока, задаваемого плотностью }i{1), составляет
V(tJ+h)~ju(t)h.
Таким образом, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем А, получаем
S(t+h)-S(t)~o$(t)h+v(t)h,
откуда . . , .
и, переходя к пределу при А —> 0, получим
ds(t)
= SS(t) + fi(t). (10.20)
dt
Это дифференциальное уравнение динамики финансовой системы. Оно относится к одному из простейших типов обыкновенных дифференциальных уравнений, к так называемым линейным неоднородным уравнениям 1-го порядка. Если внешний поток нулевой, т.е.
МО = 0,
то уравнение становится однородным
«и»
и, как мы уже знаем (см. гл. 8), оно описывает обычный экспоненциальный процентный рост:
5(0=5(,0)ей=5(0(1+/Г.
Решение неоднородного уравнения, как легко показать (см. [18]), следующее:
'о
Для 70 = 0 и 5(г0) = эта формула принимает особенно простой вид
/
= (Ю.22)
0
(10.23) |
Заметим, что поскольку
е6 = 1 +/,
то
е*'-" = (1 + /)'-'. Но тогда формулу (10.21) можно переписать как
5(,) = 5(0(1+Ір+Н)(1+) = ск.
'и
Отсюда для / = 0 получим
'г Г /
V |
) = V + (и^й 5 =
ИЛИ
т.е. приведенное к моменту г = 0 состояние равно сумме начального состояния и приведенной к / — 0 величины потока.
Теория систем с непрерывными потоками вполне аналогична теории систем с дискретными потоками, с той лишь разницей, что для нахождения текущих значений дискретного потока дисконтируются его составляющие суммы С(/), а для непрерывного потока дисконтируется плотность ju(t) и, естественно, суммирование для дискретного потока переходит в интегрирование для непрерывного.
При описании динамики фонда с внешним потоком мы всюду предполагали, что автономный рост, т.е. рост без учета внешнего потока, подчиняется показательному закону по фиксированной процентной ставке. В предыдущей главе рассмотрен случай автономного роста с непрерывно меняющейся процентной ставкой. Соответствующее однородное дифференциальное уравнение для S имело вид
d-f=sm»,
где S(t) — переменная интенсивность роста.
Объединяя эту модель с моделью непрерывного потока, можно сразу записать дифференциальное уравнение для S(t) в случае внешнего потока:
(10.24)
Это линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Однако в отличие от стационарного случая
5(t) * 5
данное уравнение имеет непостоянный коэффициент 6(0- Тем не менее можно получить в общем виде решение и для этого уравнения (см. [18]):
(10.25)
где
(10.26)
— нестационарная функция автономного роста с интенсивностью
Еще по теме 10.4. Непрерывные потоки платежей и общее уравнение динамики фонда:
- 12.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОТОКОВ В БАНКОВСКИХСИСТЕМАХ
- 6. Анализ вероятностных распределений потоков платежей
- Тема 3. Расчеты потоков платежей
- Поток платежей
- 12.3. Моделирование динамики потоков в жилищно-коммунальном хозяйстве
- РАЗДЕЛ 12ОПЫТ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ПОТОКОВ В БИЗНЕС-СИСТЕМАХ
- 9.1. Модели в виде одновременных уравнений: структурная и приведенная форма уравнений
- Анализ вероятностных распределений потоков платежей.
- Корректировка потока платежей с целью уменьшения максимальной и средней потребности в остатках денежных активов
- 2.Упрощенная схема оценки при использовании прогноза чистых операционных денежных потоков и отдельном учете связанных с платежами постоянных издержек
- 68. Понятие денежного потока. Виды и классификация денежных потоков, их роль в управлении финансами