<<
>>

2.7. Теорема Гаусса-Маркова

В главе «Обзор» мы рассматривали оценки неизвестного математического ожидания случайной величины X по данным выборочных наблюдений. Хотя мы инстинктивно использовали в качестве оценки для выборочное среднее X, было показано, что оно является лишь одной из бесконечного чис­ла возможных несмещенных оценок этого параметра.
Причина предпочтения выборочного среднего всем другим оценкам состоит в том, что при опреде­ленных предпосылках оно является наиболее эффективным.

Аналогичные рассуждения применимы и к коэффициентам регрессии. Теорема Гаусса-Маркова утверждает, что при условии соблюдения предпосы­лок, описанных в разделе 2.2, оценки МНК будут наилучшими (наиболее эф­фективными) линейными (комбинации У^ несмещенными оценками пара­метров регрессии. Мы продемонстрируем это для коэффициента наклона Ь2.

Чтобы увидеть свойство линейности, заметим, что

±(х1-х)(г1-г).±(х1-х)г,-±(х1-х)г~

1=1 /■=] /=1

/=1 /=1

= ±(х,-щ-?\±х1-пх\==±(х1-х)г1.

(2.47) /=1 1/=1 ) 1=1

Тогда

К*,-*)($-?) їії-щ „ ( л

----------- — = ч------------- 7=1.} (2.48)

Ж-*)2 Ш-х)2

]=1 ]=1 у'=1

где соответствует определенному ранее.

Далее мы продемонстрируем свойство эффективности. Рассмотрим любую другую несмещенную оценку

£=2>/1/. (2.49)

/=1

которая является линейной функцией уг Мы покажем, что дисперсия этой оценки будет больше, кроме случая, когда = а1 для всех и Для того, чтобы Ь.

была несмещенной, нам нужно, чтобы е(Ь2 ) = Р2.

ь2 = 5>л = 2>/(рі + "/) = ]►>& + +1(2.50) 1 = 1 /=1 І=1 /=1 /=1

Следовательно,

/=1 /=1 1/=1 ]

Первые два слагаемых в правой части нестохастические и поэтому не изме­нятся, когда мы возьмем их математические ожидания. Теперь

Е (£ т 1= 1Е [т)=I(«,)=о.

(2.52)

1/=1 ) 1=1 /=1

Первый шаг потребовал использовать первое правило для математического ожидания, поэтому

Щ = Ь Хй+Рг!*/*/- (2-53)

;=1 /=1

Иными словами, для того, чтобы Е(ь2^ = (32, величина ^.должна удовлетво­рять условию, согласно которому = 0 и Х^'^/ =1. Дисперсия Ь2 дана как

о\ = £{(4-£(4))2)=г{Ё(«)2}=^1 «?• (2.54)

Последний шаг абсолютно аналогичен тому, который мы использовали для доказательства того, что £ |Х(а/м/)2} = °мХа'2 80 Вставке 2.3. Пусть

А;. = ё/-а, (2.55)

Записывая gi = а{ + кр первое условие несмещенности Ь2 приобретает вид

5>,=Х(«/+4г) = 0. (2.56)

/=1 /=1

Так как а, =0 (см. Вставку 2.2), то ^/г,- =0. Второе условие несмещен­ности Ь2 приобретает вид

< =в2±«? + =03 {±-? + ± V (2.57)

/=1 /=1 1/=1 /=1 1 = 1 \

Так как = 1 (снова см. Вставку 2.2), то ^/^,=0. Дисперсия Ь2

равна

Ч -о5±в? -о2±Ь-«2 +22^1. (2.58)

/=1 /=1 1/=1 /=1 /=1 ]

Теперь

------- -\±Ь,Х,-Х±и\. (2.59,

ы ыЯхг*) КМ Ы ы ]

У=1 У=1

Это выражение равно нулю, так как мы уже видели, что условия несмещен­ности Ъ2 требуют, чтобы ^ /?, = О и = 0. Следовательно,

ч=°«{ха

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме 2.7. Теорема Гаусса-Маркова:

  1. 3.6. Теорема Гаусса—Маркова
  2. Под ред. Г. Б. Поляка, А.Н. Марковой. Всемирная история: Учебник для вузов/ Под ред. Г.Б. Поляка, А.Н. Марковой. – М.: Культура и спорт, ЮНИТИ, – 496 с, 1997
  3. 7.1. Еще раз об условиях Гаусса—Маркова
  4. 5 15.3. ТЕОРЕМА РАЗДЕЛЕНИЯ
  5. 9.2. Формулировка теоремы
  6. Маркова В. Д., Кузнецова С. А.. Стратегический менеджмент: Курс лекций, 1999
  7. Теорема Коуза
  8. Вопрос 52. Теорема Коуза - Стиглера.
  9. Теорема Томаса
  10. 87. ВНЕШНИЕ ЭФФЕКТЫ И ТЕОРЕМА РОНАЛЬДА КОУЗА
  11. Трансакционные издержки и теорема Коуза
  12. 3.3. теорема коуза 3.3.1. Внешние эффекты
  13. Тема 5. ТЕОРЕМА КОУЗА И ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ
  14. Лекция № 9 ТЕОРЕМА КОУЗА 9.1. Распределение правомочий между собственниками
  15. 3.3.3. Теорема Коуза в экономике права. Переход от возмездия к компенсации за причинение вреда в древнем праве: объяснение по Коузу
  16. 3.4. Несмещенность коэффициентов регрессии
  17. 3.3. Свойства коэффициентов множественной регрессии
  18. 6.6.2. ЕМКОСТЬ КАНАЛА СВЯЗИ
  19. ЭЙЛЕР
  20. 35 ОБЩЕЕ РАВНОВЕСИЕ И БЛАГОСОСТОЯНИЕ