8.2. Свойства оценок коэффициентов регрессии по МНК в случае конечной выборки

¥ = ^ + № + (8.6)

В гл. 2 было показано, что оценка по МНК ее коэффициента наклона мо­жет быть представлена следующим образом:

±(х₁-Щ-у)

Ь = ;--------------------------- = Р₂ + X т' (8.7)

/=1

(=1

где

(8.8)

У=1

Следовательно,

Модель А (в которой значения X были нестохастическими и, соответ­ственно, тоже были нестохастическими) позволяла переписать выражение Е(а^ как а₍Е(и), которое равно нулю, согласно допущению (А.З).

Е{/(Х)^и)} = Е{/(Х)}Е{^и)} (8.Ю)

для любых функций ДА) нg(u) (см.

Е{а₁щ) = Е(а₁)Е(щ) = ^ (8.11)

Теперь можно переписать уравнение (8.9) так:

^₂^МНК) = Р₂+Х£(я,Ии,-)- (8-12)

Равенство нулю Е(и) (допущение (В.4)) обусловливает тот факт, что второе слагаемое в правой части уравнения равно нулю и что, соответственно, мы доказали несмещенность. Тем не менее, необходимо убедиться в том, что Е(а) существует. Для этого нужно использовать ддопущение (В.З), которое в случае парной линейной регрессии сводится к требованию наличия вариации пере­менной X. Строго говоря, данное допущение относится к генеральной сово­купности, из которой извлекается X. Даже если генеральная совокупность X обладает вариацией, теоретически возможна выборка с постоянными значе­ниями X. В таком случае невозможно оценить коэффициенты регрессии по МНК.

Точность и эффективность

Выражения для дисперсии регрессионных коэффициентов в случае пар­ной линейной регрессии (гл. 2) и в случае множественной регрессии с двумя объясняющими переменным (гл. 3) остаются справедливыми при том, что они определяются выборочными значениями объясняющих переменных. Аналогично теорема Гаусса-Маркова также верна.

Вставка 8.1. Доказательство несмещенности оценки коэффициента наклона в парной линейной регрессии при выполнении допущения (В. 7 )

Записав значения Хв выборке как ..., Х_п}_} получим

V Ы

Ввиду того, что а₁ — это функция от Х_г, этот множитель может быть вынесен за пределы оператора математического ожидания. Таким образом,

1=1

так как

Е(и, |{*„...,*„}) = 0

вследствие допущения (В.7').

Таким образом, оценка коэффициента наклона является несмещенной при фактических значениях X в выборке. Исходя из допущения (В.2), это свойство выполняется при любых значениях X, соответственно, и оценка является безу­словно несмещенной. Необходимо, однако, чтобы а₁ были определены, для чего требуется допущение (В.З), которое необходимо также и для вычисления оце­нок коэффициентов по МНК. Таким образом, так же как и при допущении (В.7), мы доказали несмещенность оценок по МНК в том случае, если они во­обще могут быть получены.