<<
>>

8.2. Свойства оценок коэффициентов регрессии по МНК в случае конечной выборки

Начнем с повторения свойств оценок коэффициентов регрессии по МНК в рамках новой модели. Сосредоточимся на модели парной линейной регрессии

¥ = ^ + № + (8.6)

В гл. 2 было показано, что оценка по МНК ее коэффициента наклона мо­жет быть представлена следующим образом:

±(х1-Щ-у)

Ь = ;--------------------------- = Р2 + X т' (8.7)

/=1

(=1

где

(8.8)

У=1

Следовательно,

Модель А (в которой значения X были нестохастическими и, соответ­ственно, тоже были нестохастическими) позволяла переписать выражение Е(а^ как а(Е(и), которое равно нулю, согласно допущению (А.З).

В данном случае такое рассуждение не пройдет, потому что значения Хв каждом наблю­дении являются стохастическими. Вместо этого мы обращаемся к допущению (В.7). Если распределение и1 независимо от каждого значения Хв выборке, то оно независимо и от аг Исходя из независимости X и и, можно выполнить разложение

Е{/(Х)^и)} = Е{/(Х)}Е{^и)} (8.Ю)

для любых функций ДА) нg(u) (см.

главу «Обзор»). Пусть ДХ) = а( и#(и) = щ, тогда

Е{а1щ) = Е(а1)Е(щ) = ^ (8.11)

Теперь можно переписать уравнение (8.9) так:

^2МНК) = Р2+Х£(я,Ии,-)- (8-12)

Равенство нулю Е(и) (допущение (В.4)) обусловливает тот факт, что второе слагаемое в правой части уравнения равно нулю и что, соответственно, мы доказали несмещенность. Тем не менее, необходимо убедиться в том, что Е(а) существует. Для этого нужно использовать ддопущение (В.З), которое в случае парной линейной регрессии сводится к требованию наличия вариации пере­менной X. Строго говоря, данное допущение относится к генеральной сово­купности, из которой извлекается X. Даже если генеральная совокупность X обладает вариацией, теоретически возможна выборка с постоянными значе­ниями X. В таком случае невозможно оценить коэффициенты регрессии по МНК.

Оценки по МНК будут несмещенными при условии, что они вообще могут быть получены. (См. Вставку 8.1, в которой приводится доказательство несмещенности при условии более слабого варианта допущения (В.7')).

Точность и эффективность

Выражения для дисперсии регрессионных коэффициентов в случае пар­ной линейной регрессии (гл. 2) и в случае множественной регрессии с двумя объясняющими переменным (гл. 3) остаются справедливыми при том, что они определяются выборочными значениями объясняющих переменных. Аналогично теорема Гаусса-Маркова также верна.

Вставка 8.1. Доказательство несмещенности оценки коэффициента наклона в парной линейной регрессии при выполнении допущения (В. 7 )

/=1

Записав значения Хв выборке как ..., Хп}} получим

V Ы

Ввиду того, что а1 — это функция от Хг, этот множитель может быть вынесен за пределы оператора математического ожидания. Таким образом,

1=1

так как

Е(и, |{*„...,*„}) = 0

вследствие допущения (В.7').

Таким образом, оценка коэффициента наклона является несмещенной при фактических значениях X в выборке. Исходя из допущения (В.2), это свойство выполняется при любых значениях X, соответственно, и оценка является безу­словно несмещенной. Необходимо, однако, чтобы а1 были определены, для чего требуется допущение (В.З), которое необходимо также и для вычисления оце­нок коэффициентов по МНК. Таким образом, так же как и при допущении (В.7), мы доказали несмещенность оценок по МНК в том случае, если они во­обще могут быть получены.

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме 8.2. Свойства оценок коэффициентов регрессии по МНК в случае конечной выборки:

  1. 8.3. Асимптотические свойства оценок регрессии поМНК
  2. 3.3. Свойства коэффициентов множественной регрессии
  3. 5.4. Свойства коэффициентов множественной регрессии
  4. 3. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕ
  5. 2.СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
  6. 78 МНОГОНАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПАНИИ (МНК). ОРГАНИЗАЦИОННОЕ ПОСТРОЕНИЕ МНК
  7. 3.1. Случайные составляющие коэффициентов регрессии
  8. 3.5. Точность коэффициентов регрессии
  9. 2.3. Случайные составляющие коэффициентов регрессии
  10. 2.6. Точность коэффициентов регрессии
  11. Несмещенность коэффициентов регрессии
  12. 3.2. Вывод и интерпретация коэффициентов множественной регрессии
  13. 5.2. Вывод и интерпретация коэффициентов множественной регрессии
  14. 3.4. Несмещенность коэффициентов регрессии
  15. 3.7. Проверка гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии