<<
>>

8.1. Стохастические объясняющие переменные

В базовой регрессионной модели, построенной на основе метода наименьших квадратов, предполагается, что объясняющие переменные являются нестохас­тическими. Часто это предположение оказывается нереалистичным, и поэтому важно знать, к каким последствиям приведут более слабые модельные ограни­чения.
Мы увидим, что в некоторых ситуациях сможем продолжать использо­вать МНК, но в других, например, когда объясняющая переменная (или пере­менные) подвержена воздействию ошибок измерения, МНК приводит к сме­щенным и несостоятельным оценкам. Глава заканчивается введением другого метода оценивания, основанного на инструментальных переменных, который позволяет получать оценки с более приемлемыми свойствами.

До сих пор мы считали, что объясняющие переменные в регрессионной модели являются нестохастическими. Это означает, что если бы нам пришлось повторить регрессионный анализ с новой выборкой, то значения объясняющих переменных остались бы неизменными. При этом значения зависимой перемен­ной изменились бы, потому что новая выборка содержала бы новую совокуп­ность значений случайного члена.

Такое допущение может показаться странным. На практике в эконометрике мы оцениваем параметры модели регрессии только один раз. Редко бывает воз­можность повторить расчет с теми же или с другими значениями объясняющих переменных. Единственным общим исключением являются эксперименты ла­бораторного типа, основанные на использовании метода Монте-Карло.

Причина выдвижения данного предположения была технической и заклю­чалась в упрощении анализа свойств оценок регрессии. Например, мы видели, что в модели парной регрессии

>> = а + рх + и (8.1)

оценка МНК коэффициента наклона может быть представлена в виде разло­жения:

Соу(х,у) Соу(*,к) Уаг(х) Р Уаг(х)

Теперь если х — нестохастическая переменная, то Уаг (х) также является не­стохастической величиной, и математическое ожидание ошибки может быть записано как Е[Со\ (х, и)]/Уаг (х). Кроме того, если переменная х неслучайна, то £[Соу (х, и)] = 0. Поэтому доказательство того, что Ъ — несмещенная оцен­ка р, не вызвало затруднений. Хотя доказательство не было представлено, пред­положение о нестохастичности использовалось и при получении выражения для стандартной ошибки коэффициента. Кроме того, оно используется в те­ореме Гаусса—Маркова, доказывающей, что если удовлетворены условия Гаусса—Маркова, то оценки МНК эффективны.

В экономической практике предположение о нестохастичности часто ока­зывается весьма нереалистичным. Обычно обнаруживается, что объясняющие переменные модели сами были определены из других экономических зависи­мостей. Как мы увидим в главе 11, часто желательно рассматривать не одну зависимость изолированно, а целую систему зависимостей, действующих од­новременно.

Мы изучим три типа моделей со стохастическими объясняющими перемен­ными, классифицируемых в соответствии с тем, какова связь между распре­делениями этих переменных и распределением случайного члена. Все они имеют важное практическое значение.

1. В моделях первого типа объясняющие переменные распределены независимо от случайного члена.

2. В моделях второго типа объясняющие переменные и случайный член не являются независимыми, но их значения в каждый момент време­ни некоррелированы (т.

е. текущие значения объясняющих переменных не коррелируют с текущим значением случайного члена).

3. В моделях третьего типа значения объясняющих переменных и случайного члена коррелируют в каждый момент времени.

Прежде чем начать рассмотрение указанных типов моделей, необходимо прояснить вопрос, о котором нередко забывают, — о дисперсиях и ковариаци- ях объясняющих переменных в больших выборках. Обычно предполагается, что они стремятся к конечным пределам. Для упрощения мы примем здесь сильную форму этого допущения, заключающуюся в том, что объясняющие перемен­ные могут рассматриваться как особый вид случайных переменных, для кото­рых выборочные значения извлекаются (не обязательно независимо) из гене­ральных совокупностей с конечными средними, дисперсиями и ковариация- ми.

Справедливости ради следует отметить, что, по-видимому, мотивация для этого предположения — прежде всего практическая, так как это делает неслож­ным определение поведения оценки в больших выборках. Действительно, это предположение является целесообразным, если вы имеете дело со статистичес­кими данными, относящимися к различным отраслям экономики, и наблюде­ния берутся (случайно или в рамках схемы расслоенной выборки) из данной генеральной совокупности. Это предположение может быть также обоснован­ным в том случае, когда вы имеете дело с данными временного ряда, сформи­рованными стационарным процессом, т. е. таким, в котором распределение хне зависит от времени. Уравнение (7.21) является примером стационарного про­цесса при выполнении условия устойчивости — 1 < р < 1.

Тем не менее во многих моделях, особенно в тех, где используются данные временных рядов, это предположение не является целесообразным. Весьма оче­видно, что когда модель включает переменные с трендом, имеет смысл счи­тать, что Уаг(х) неограниченно увеличивается по мере расширения периода выборки. Примером являются функции спроса, которым в этой книге уделя­ется особое внимание. Поэтому мы будем рассматривать также и эту альтерна­тиву. Анализ ограничим рассмотрением модели парной регрессии (8.1), но ре­зультаты легко распространяются и на случай множественной регрессии.

Случай, когда распределение х имеет конечное математическое ожидание и конечную дисперсию

Сначала рассмотрим случай, когдах извлекается из генеральной совокупно­сти с конечными математическим ожиданием и дисперсией, обозначаемой а2.

а) х и и независимо распределены

Если х и и распределяются независимо друг от друга, то обычный МНК со­храняет все свои важные свойства. Сюда относятся несмещенность, эффектив­ность и состоятельность. Кроме того, критическая статистика может использо­ваться, как обычно, при условии, что распределение х не зависит от парамет­ров а, р или аа. Мы покажем, что выполняются условия несмещенности и со­стоятельности, а соблюдение требования эффективности примем на веру.

Несмещенность

Если л: — стохастическая переменная, то Уаг (х) не может рассматриваться как скаляр, поэтому мы не можем переписать .Е[Соу(х:, и)/Уаг(х)] как £[Соу (х, и)]/Уаг (х). Следовательно, обычное доказательство несмещенности здесь не проходит. Однако мы можем найти другой способ разложения ошиб­ки:

Соу(х,и) Уаг(х) Уаг(х)



— \ Xі - X

Уаг(х)

п

(и/ - и) = і X/(*/)(м/ " ")> (8.3)



где /(*,.) = (*/-*)/Уаг(х).

Далее, если х и и распределены независимо, то также независимо будут рас­пределены f(x) и и. Следовательно, используя одно из свойств независимости (см. Обзор), получаем:

£[/

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — M.: ИНФРА-М, — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме 8.1. Стохастические объясняющие переменные:

  1. 8.1. Допущения моделей со стохастическими объясняющими переменными
  2. 8. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОБЪЯСНЯЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЯ
  3. 8.СТОХАСТИЧЕСКИЕ ОБЪЯСНЯЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИЯ
  4. 3. 1. Иллюстрация: модель с двумя объясняющими переменными
  5. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР (STOCHASTIC)
  6. 18.5. Особенности стохастической постановкиЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
  7. Стохастические методы расчета
  8. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ В УСЛОВИЯХ МАЛОПОДВИЖНЫХ ЦЕН
  9. Стохастическая позиционная модель
  10. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ: ТЕОРИЯ РЕАЛЬНОГО ДЕЛОВОГО ЦИКЛА
  11. 18.8. Комбинированный способ управленияЗАПАСАМИ (СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД)
  12. МОДЕЛИ, ОБЪЯСНЯЮЩИЕ ТЕМП РОСТА НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА
  13. 20. Объясняют, прежде чем продают
  14. ЧЕМ ОБЪЯСНЯЕТСЯ ИЗМЕНЕНИЕ {C/D} ВО ВРЕМЕНИ
  15. ЧЕМ ОБЪЯСНЯЕТСЯ ПОВЕДЕНИЕ БАНКОВ
  16. ЧЕМ ОБЪЯСНЯЕТСЯ ИЗМЕНЕНИЕ {C/D} ВО ВРЕМЕНИ
  17. ЧЕМ ОБЪЯСНЯЕТСЯ ПОВЕДЕНИЕ БАНКОВ