<<
>>

3.1. Случайные составляющие коэффициентов регрессии

С помощью регрессионного анализа мы можем получить оценки параметров зависимости. Однако они являются лишь оценками. Поэтому возникает вопрос о том, насколько они надежны. Дадим сначала общий ответ, изучив условия несмещенности и факторы, определяющие дисперсию оценок. Основываясь на этом, мы будем совершенствовать способы проверки совместимости регресси­онной оценки с конкретной априорной гипотезой об истинном значении оце­ниваемого параметра. И следовательно, мы будем строить доверительный ин­тервал для истинного значения, который представляет собой множество всех возможных гипотетических значений, не противоречащих результатам экспери­ментов.
Будет также показано, каким образом можно проверить, является ли качество подбора кривой более высоким, чем при чисто случайном подборе.

Коэффициент регрессии, вычисленный методом цаименыиих квадратов, — это особая форма случайной величины, свойства которой зависят от свойств остаточного члена в уравнении. Мы продемонстрируем зто сначала теоретичес­ки, а затем посредством контролируемого эксперимента. В частности, мы уви­дим, какое значение для оценки коэффициентов регрессии имеют некоторые конкретные предположения, касающиеся остаточного члена.

(3.1)
(3.2)

В ходе рассмотрения мы постоянно будем иметь дело с моделью парной рег­рессии, в которой у связан с х следующей зависимостью:

у = а + р* + и,

и на основе п выборочных наблюдений будем оценивать уравнение регрес­сии.

у = а+Ьх.

Мы также будем предполагать, что х — это неслучайная экзогенная пере­менная. Иными словами, ее значения во всех наблюдениях можно считать за­ранее заданными и никак не связанными с исследуемой зависимостью. Во-первых, заметим, что величина>> состоит из двух составляющих. Она вклю­

чает неслучайную составляющую (а + Рх), которая не имеет ничего общего с законами вероятности (аир могут быть неизвестными, но тем не менее это постоянные величины), и случайную составляющую и.

Отсюда следует, что, когда мы вычисляем b по обычной формуле:

Cov (х,у)

"VarOO"' (3-3)

b также содержит случайную составляющую. Cov (х, у) зависит от значений у, а у зависит от значений и.

Если случайная составляющая принимает разные значения в п наблюдени­ях, то мы получаем различные значения у и, следовательно, разные величины Cov (х, у) и Ь.

Теоретически мы можем разложить b на случайную и неслучайную составля­ющие. Воспользовавшись соотношением (3.1), а также правилом / расчета ко- вариации из раздела 1.2, получим:

Cov(x, у) = Cov(x, [а + рх + и]) = Cov(x, а) + Cov(x, рх) + Cov(x, и). (3.4)

По ковариационному правилу 3, ковариация Cov (х, а) равна нулю. По ко­вариационному правилу 2, ковариация Cov (х, рх) равна pCov (х, х). Причем Cov (х, х) это тоже, что и Var (х). Следовательно, мы можем записать:

Cov(x, у) = рУаг(х) + Cov(x, и), (3.5)

и, таким образом,

6=Соу(*,у) Cov (х,и) Var(x) р Уаг(х)

Итак, мы показали, что коэффициент регрессии Ь, полученный по любой выборке, представляется в виде суммы двух слагаемых: 1) постоянной вели­чины, равной истинному значению коэффициента р; 2) случайной состав­ляющей, зависящей от Cov (х, и), которой обусловлены отклонения коэффи­циента Ь от константы р. Аналогичным образом можно показать, что а имеет постоянную составляющую, равную истинному значению а, плюс случайную составляющую, которая зависит от случайного фактора и.

Следует заметить, что на практике мы не можем разложить коэффициенты регрессии на составляющие, так как не знаем истинных значений аир или фак­тических значений и в выборке. Они интересуют нас потому, что при опреде­ленных предположениях позволяют получить некоторую информацию о теоре­тических свойствах а и Ь.

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — M.: ИНФРА-М, — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме 3.1. Случайные составляющие коэффициентов регрессии:

  1. 2.3. Случайные составляющие коэффициентов регрессии
  2. 14.3. Регрессии со случайным эффектом
  3. 3.3. Свойства коэффициентов множественной регрессии
  4. 5.4. Свойства коэффициентов множественной регрессии
  5. 3.5. Точность коэффициентов регрессии
  6. Несмещенность коэффициентов регрессии
  7. 3.2. Вывод и интерпретация коэффициентов множественной регрессии
  8. 2.6. Точность коэффициентов регрессии
  9. 5.2. Вывод и интерпретация коэффициентов множественной регрессии
  10. 8.2. Свойства оценок коэффициентов регрессии по МНК в случае конечной выборки
  11. 3.4. Несмещенность коэффициентов регрессии
  12. 3. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕ
  13. 3.7. Проверка гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии
  14. 2.СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
  15. 2.8. Проверка гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии
  16. 12. Взаимосвязь между Г-критерием общего качества регрессии и критерием для коэффициента наклона в парном регрессионном анализе