4.1. Простейшая процедура
Одним из недостатков линейного регрессионного анализа, как это след>т из самого названия, является то, что он может быть применен только к линейным уравнениям, где каждый объясняющий элемент, за исключением свобох- ного члена, записывается как произведение коэффициента и переменной:
Г = Р 1+Р2*2+Рз*3+РЛ- (4Д1
являются нелинейными.
Тем не менее, именно зависимости (4.2) и (4.3) считаются приемлемые для описания кривых Энгеля, характеризующих соотношение между спросо* на определенный товар У и общей суммой дохода X.
Как можно определи параметры Р1 и Р2 в каждом уравнении, имея данные о значениях У и Л? В действительности в обоих случаях можно в конце концов применить линейНЬ^1 регрессионный анализ. Во-первых, заметим, что уравнение (4.1) является линейным в двух смыслах. Правая часть его линейна по переменным, присутств) ющим здесь непосредственно, а не как функции. Следовательно, она состой из взвешенной суммы переменных, а параметры являются весами. Права часть также линейна по параметрам, так как она состоит из взвешенной сумм» параметров, а переменные в данном случае являются весами.Для целей линейного регрессионного анализа важное значение имеет только второй тип линейности. Нелинейность по переменным всегда можно обойти путем использования соответствующих определений.
Например, предположим, что соотношение имеет виду = Pi + М22 + Рз+ р4 log хл +... (4.4)
Если определить Z2 = Х\, Z3 = Z4 = log Х4 и т.д., то данное соотношение примет следующий вид:
r=p, + (32Z2 + p3Z3 + p4Z4 + ..., (4.5)
и теперь оно является линейным как по переменным, так и по параметрам. Такой тип преобразования является лишь косметическим, и обычно уравнения регрессии записываются с нелинейными выражениями относительно переменных. Это позволяет избежать лишних обозначений.
С другой стороны, уравнение типа (4.3) является нелинейным как по параметрам, так и по переменным, и его нельзя преобразовать только путем замены определений. (Не следует думать, что его можно преобразовать в линейное, если определить Z = и подставить вместо Z; поскольку (32 неизвестно, мы не сможем рассчитать выборочные значения Z). Проблема преобразования нелинейных по параметрам соотношений будет рассмотрена в следующем разделе.
В случае (4.2), однако, единственное, что нам нужно сделать, — это определить Z — {\/Х). Тогда уравнение (4.2) примет вид
Y= + (3 2Z, (4.6)
оно будет линейным, и мы оцениваем регрессию 7 на Z. Постоянный член в уравнении регрессии будет представлять собой оценку (Зр а коэффициент при Z—оценку р2.
и мер
Допустим, вы исследуете соотношение между ежегодным потреблением бананов и годовым доходом, и в табл. 4.1. приведены наблюдения для 10 семей (забудем пока о Z).
На рис. 4.1 представлены «облако» точек, соответствующих наблюдениям, а также график уравнения регрессии 7на ЛГ(в скобках приведены стандартные ошибки):
Y= 4,62 + 0,Ш; R2 = 0,69 (4.7)
(1,26) (0,20)
На рис. 4.1 можно видеть, что график уравнения регрессии не вполне соответствует точкам наблюдений, несмотря на то, что коэффициент при Xзначимо отличается от нуля на 1 %-ном уровне значимости.
Очевидно, что точки наблюдений лежат на кривой, тогда как уравнение регрессии характеризуется трямой линией. В данном случае легко видеть, что функциональная зависимость между 7и ^определена неправильно. При использовании множествен-
Домохозяйство | Бананы (фунтов), У | Доход (10 ООО долл.), X | 1 |
1 | 1,71 | 1 | 1,000 |
2 | 6,88 | 2 | 0,500 |
3 | 8,25 | 3 | 0,333 |
4 | 9,52 | 4 | 0,250 |
5 | 9,81 | 5 | 0,200 |
6 | 11,43 | 6 | 0,167 |
7 | 11,09 | 7 | 0,143 |
8 | 10,87 | 8 | 0,125 |
9 | 12,15 | 9 | 0,111 |
10 | 10,94 | 10 | 0,100 |
ного регрессионного анализа нелинейность можно выявить на основе графи ческого подхода, описанного в разделе 3.2. В то же время, понять, что в моде.:*- что-то неверно, можно с помощью анализа остатков. В данном случае значе ния остатков соответствуют данным, приведенным в табл. 4.2. Положительные и отрицательные, большие и малые остатки должны чередоваться случаи ным образом.
Здесь же сначала остатки отрицательны, затем они становятся положительными, достигают максимума, а потом снова уменьшаются и стг новятся отрицательными: это представляется достаточно сомнительным.В данном примере значения 7 и Хбыли получены с помощью метода Мои те-Карло, истинное соотношение имеет вид
У = 12- — + Случайный член, (4.?
X
-I о Доход, тыс. долл. |
Бананы, фунты -]
2 - |
О 2 4 6 8
Рисунок 4.1. Регрессионная зависимость потребления бананов от дохода
Домохозяйство | У | У | е | Домохозяйство | У | У | е |
1 | 1,71 | 5,46 | -3,75 | 6 | 11,43 | 9,69 | 1,74 |
2 | 6,88 | 6,31 | 0,57 | 7 | 11,09 | 10,53 | 0,55 |
3 | 8,25 | 7,15 | 1,10 | 8 | 10,87 | 11,38 | -0,51 |
4 | 9,52 | 8,00 | 1,52 | 9 | 12,15 | 12,22 | -0,07 |
5 | 9,81 | 8,84 | 0,97 | 10 | 10,94 | 13,07 | -2,13 |
где ^принимает целые значения от 1 до 10, а значения случайного члена получают с помощью нормально распределенных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 0,25.
Если мы знаем это и определим 2 = \/Х, то уравнение примет линейную форму (4.6). Значение 2 для каждого домохозяйства уже подсчитано в табл. 4.1. Оценив регрессию Уна 2, получим (в скобках приведены стандартные ошибки):
У= 12,48 - 10,992-; В2 = 0,97. (4.9)
(0,26) (0,65)
Подставив 2 = \/Х, получим
10 99
У = 12,48-—(4.10) X
С учетом высокого качества оцененного уравнения (4.9), неудивительно, что (4.10) близко к истинному уравнению (4.8). Регрессионная зависимость и точки наблюдений для У, Хи 2показаны на рис. 4.2 и 4.3. Улучшение качества уравнения, измеряемого с помощью Я2, очевидно из сравнения рис. 4.1 и 4.3.
О 2 4 б 8 10 х
Рисунок 4.3. Нелинейная регрессионная зависимость расходов на бананы от дохода
Еще по теме 4.1. Простейшая процедура:
- § 6.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКИ
- 2.5.2. Взнос в уставный (складочный) капитал, вклада в простое товарищество по договору простого товарищества
- 23. ВИДЫ ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРОСТЫМИ СУЖДЕНИЯМИ
- 3.4.1 Характер процедур
- Аудиторские процедуры
- 4.4. Рациональность, основанная на процедуре
- Статистические процедуры.
- Простые учетные проценты
- Аналитические процедуры
- Простые общества
- Перечень аудиторских процедур
- Бухгалтерская процедура