<<
>>

4.1. Простейшая процедура

Нелинейные соотношения гораздо лучше подходят для описания многих эконоглг ческих процессов, чем линейные. В данной главе мы сначала определим, что поп мается под линейным регрессионным анализом, а затем покажем, как он може- быть применен для некоторых явно нелинейных соотношений.
Далее мы рассмс рим, что необходимо делать в тех случаях, когда невозможно использовать линей­ные методы. В заключение рассматривается метод, позволяющий установить с~» тистическое различие между линейными и нелинейными соотношениями.

Одним из недостатков линейного регрессионного анализа, как это след>т из самого названия, является то, что он может быть применен только к линей­ным уравнениям, где каждый объясняющий элемент, за исключением свобох- ного члена, записывается как произведение коэффициента и переменной:

Г = Р 1+Р2*2+Рз*3+РЛ- (4Д1

являются нелинейными.

Тем не менее, именно зависимости (4.2) и (4.3) считаются приемлемые для описания кривых Энгеля, характеризующих соотношение между спросо* на определенный товар У и общей суммой дохода X.

Как можно определи параметры Р1 и Р2 в каждом уравнении, имея данные о значениях У и Л? В дей­ствительности в обоих случаях можно в конце концов применить линейНЬ^1 регрессионный анализ. Во-первых, заметим, что уравнение (4.1) является ли­нейным в двух смыслах. Правая часть его линейна по переменным, присутств) ющим здесь непосредственно, а не как функции. Следовательно, она состой из взвешенной суммы переменных, а параметры являются весами. Права часть также линейна по параметрам, так как она состоит из взвешенной сумм» параметров, а переменные в данном случае являются весами.

Для целей линейного регрессионного анализа важное значение имеет толь­ко второй тип линейности. Нелинейность по переменным всегда можно обой­ти путем использования соответствующих определений.

Например, предпо­ложим, что соотношение имеет вид

у = Pi + М22 + Рз+ р4 log хл +... (4.4)

Если определить Z2 = Х\, Z3 = Z4 = log Х4 и т.д., то данное соотноше­ние примет следующий вид:

r=p, + (32Z2 + p3Z3 + p4Z4 + ..., (4.5)

и теперь оно является линейным как по переменным, так и по параметрам. Такой тип преобразования является лишь косметическим, и обычно уравне­ния регрессии записываются с нелинейными выражениями относительно пе­ременных. Это позволяет избежать лишних обозначений.

С другой стороны, уравнение типа (4.3) является нелинейным как по пара­метрам, так и по переменным, и его нельзя преобразовать только путем заме­ны определений. (Не следует думать, что его можно преобразовать в линей­ное, если определить Z = и подставить вместо Z; поскольку (32 неизвес­тно, мы не сможем рассчитать выборочные значения Z). Проблема преобразования нелинейных по параметрам соотношений будет рассмотрена в следующем разделе.

В случае (4.2), однако, единственное, что нам нужно сделать, — это опре­делить Z — {\/Х). Тогда уравнение (4.2) примет вид

Y= + (3 2Z, (4.6)

оно будет линейным, и мы оцениваем регрессию 7 на Z. Постоянный член в уравнении регрессии будет представлять собой оценку (Зр а коэффициент при Z—оценку р2.

и мер

Допустим, вы исследуете соотношение между ежегодным потреблением бананов и годовым доходом, и в табл. 4.1. приведены наблюдения для 10 семей (забудем пока о Z).

На рис. 4.1 представлены «облако» точек, соответствующих наблюдениям, а также график уравнения регрессии 7на ЛГ(в скобках приведены стандартные ошибки):

Y= 4,62 + 0,Ш; R2 = 0,69 (4.7)

(1,26) (0,20)

На рис. 4.1 можно видеть, что график уравнения регрессии не вполне соот­ветствует точкам наблюдений, несмотря на то, что коэффициент при Xзначи­мо отличается от нуля на 1 %-ном уровне значимости.

Очевидно, что точки наблюдений лежат на кривой, тогда как уравнение регрессии характеризуется трямой линией. В данном случае легко видеть, что функциональная зависи­мость между 7и ^определена неправильно. При использовании множествен-

Домохозяйство Бананы (фунтов), У Доход (10 ООО долл.), X 1
1 1,71 1 1,000
2 6,88 2 0,500
3 8,25 3 0,333
4 9,52 4 0,250
5 9,81 5 0,200
6 11,43 6 0,167
7 11,09 7 0,143
8 10,87 8 0,125
9 12,15 9 0,111
10 10,94 10 0,100

ного регрессионного анализа нелинейность можно выявить на основе графи ческого подхода, описанного в разделе 3.2. В то же время, понять, что в моде.:*- что-то неверно, можно с помощью анализа остатков. В данном случае значе ния остатков соответствуют данным, приведенным в табл. 4.2. Положитель­ные и отрицательные, большие и малые остатки должны чередоваться случаи ным образом.

Здесь же сначала остатки отрицательны, затем они становятся положительными, достигают максимума, а потом снова уменьшаются и стг новятся отрицательными: это представляется достаточно сомнительным.

В данном примере значения 7 и Хбыли получены с помощью метода Мои те-Карло, истинное соотношение имеет вид

У = 12- — + Случайный член, (4.?

X

-I о Доход, тыс. долл.

Бананы, фунты -]

2 -

О 2 4 6 8

Рисунок 4.1. Регрессионная зависимость потребления бананов от дохода

Домо­хозяйство У У е Домо­хозяйство У У е
1 1,71 5,46 -3,75 6 11,43 9,69 1,74
2 6,88 6,31 0,57 7 11,09 10,53 0,55
3 8,25 7,15 1,10 8 10,87 11,38 -0,51
4 9,52 8,00 1,52 9 12,15 12,22 -0,07
5 9,81 8,84 0,97 10 10,94 13,07 -2,13

где ^принимает целые значения от 1 до 10, а значения случайного члена полу­чают с помощью нормально распределенных случайных чисел с нулевым ма­тематическим ожиданием и дисперсией 0,25.

Если мы знаем это и определим 2 = \/Х, то уравнение примет линейную форму (4.6). Значение 2 для каждого домохозяйства уже подсчитано в табл. 4.1. Оценив регрессию Уна 2, получим (в скобках приведены стандартные ошиб­ки):

У= 12,48 - 10,992-; В2 = 0,97. (4.9)

(0,26) (0,65)

Подставив 2 = \/Х, получим

10 99

У = 12,48-—(4.10) X

С учетом высокого качества оцененного уравнения (4.9), неудивительно, что (4.10) близко к истинному уравнению (4.8). Регрессионная зависимость и точки наблюдений для У, Хи 2показаны на рис. 4.2 и 4.3. Улучшение качества уравнения, измеряемого с помощью Я2, очевидно из сравнения рис. 4.1 и 4.3.

О 2 4 б 8 10 х

Рисунок 4.3. Нелинейная регрессионная зависимость расходов на бананы от дохода

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме 4.1. Простейшая процедура:

  1. § 6.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКИ
  2. 2.5.2. Взнос в уставный (складочный) капитал, вклада в простое товарищество по договору простого товарищества
  3. 23. ВИДЫ ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРОСТЫМИ СУЖДЕНИЯМИ
  4. 3.4.1 Характер процедур
  5. Аудиторские процедуры
  6. 4.4. Рациональность, основанная на процедуре
  7. Статистические процедуры.
  8. Простые учетные проценты
  9. Аналитические процедуры
  10. Простые общества
  11. Перечень аудиторских процедур
  12. Бухгалтерская процедура