5.1. Пример использования фиктивной переменной

1. Исследуется зависимость между продолжительностью образования и разме­ром заработка. В выборке представлены как мужчины, так и женщины. Снача.~; выясним, обусловливает ли пол респондента различие в результатах.

2. Исследуется зависимость между размером дохода и потреблением в Бельгии Выборка включает как франкоговорящие семьи, так и семьи, говорящие пс- фламандски. Выясним, имеет ли это этническое различие существенное значе ние.

3. Имеются данные о темпах прироста среднедушевого ВВП и о зарубежной эко­номической помощи в расчете на душу населения по группе развивающихся стран, из которых одни являются демократическими, а другие — нет. Проверни зависит ли влияние, оказываемое внешней помощью на экономический рос^ф от формы правления.

В каждом из этих примеров одним из возможных решений было бы оценивание о~- дельных регрессий для двух указанных категорий с последующим выяснениеи различаются ли полученные коэффициенты. Другой возможный подход к решена: состоит в оценивании единой регрессии с использованием всей совокупности на­блюдений и измерением степени влияния качественного фактора посредством введения так называемой фиктивной переменной. Второй подход имеет два вал ных преимущества: во-первых, имеется простой способ проверки, является ли воз­действие качественного фактора значимым; во-вторых, при условии выполнена; определенных предположений регрессионные оценки оказываются более эффе« тивными.

Мы проиллюстрируем метод использования фиктивных переменных Ні примере изучения зависимости затрат на работу средней школы от числа уча­щихся в ней и от типа школы. В качестве начального шага рассмотрим мо­дель

CaST=p, + P₂jV+w, (5.1»

где COST — последовательные годовые показатели затрат школы и N— числс обучающихся в ней.

Таким образом, мы получаем уравнение регрессии (в скобках приведены стандартные ошибки):

ОЙТ = 24 ООО + 339УУ; Я² = 0,39, (5.2)

(27 ООО) (50)

где издержки измерены в юанях (в период выборки один юань равнялся при­мерно 20 американским центам).

И это — всего лишь отправная точка исследования. Далее мы займемся изучением влияния типа школы на издержки. Профессиональные школы, ориентированные на подготовку специалистов в определенных профессиях, требуют больших затрат, поскольку для них нужны специализированные мас­терские. Эти расчеты можно отразить в модели с помощью двух уравнений:

+ (5.3)

и

С05Т=$\ + (5.4)

где первое уравнение относится к обычным школам, а второе — к профессио­нальным. В действительности мы здесь полагаем, что постоянные затраты для двух типов школ различаются, в то время как переменные (предельные) затра­ты у них одинаковые. Это предположение о предельных затратах не слишком правдоподобно, и в свое время мы его ослабим. Пусть 8 есть разность между свободными членами: 5 = (3', - (З_г Тогда (3', = Р₁ + 5, и мы можем переписать функцию издержек для профессиональных школ как

С05Г=Р, +8 + Р₂ЛГ+М. (5.5)

Эта модель показана на рис. 5.1. Две линии на нем отражают зависимость затрат от числа студентов, без учета случайного члена. Линия для профессио­нальных школ здесь такая же, как и для обычных школ, за исключением того, что она сдвинута на величину 5.

Данная процедура предназначена для оценивания этого неизвестного фак­тора сдвига. Перепишем модель в виде

COST

MS

p

Условные обозначения: • Профессиональные школы О Обычные школы

Рисунок 5.1. Функции издержек для обычных и профессиональных школ

COST= р, + 80СС + ^м>

где ОСС — фиктивная переменная, т.е.

Данные для первых 10 школ из выборки показаны в табл. 5.2. Заметим, чтх ОСС меняется в зависимости от типа школы. Данные были введены в компьк- терную регрессионную программу, и была оценена множественная регрессю COST от N и ОСС. Мы обращаемся здесь с ОСС как с обычной переменно*, хотя ее значениями являются лишь нули и единицы.

Распечатка программы Stata в табл. 5.3 показывает результат оценивание регрессии для полной выборки из 74 школ. В виде уравнения мы получае» (в скобках — стандартные ошибки):

COST = -34 ООО + 133 ООООСС +3317V; Я² = 0,62. (24 000) (21 000) (40)

Приравнивая ОСС к нулю или единице соответственно, мы получаем неяв­но записанные функции издержек для двух типов школ:

Обычные школы:

COST = -34 000 + 331Ж (5.8)

Профессиональные школы:

ОЖГ = -34 ООО + 133 ООО + 331ЛГ= 99 ООО + 33 Ш (5.9)

Эта регрессия показывает, что предельные издержки в расчете на одного студента в год равны 331 юаню, а ежегодные постоянные издержки обычной школы составляют 34 ООО юаней. Очевидно, отрицательный свободный член лишен всякого смысла, и модель в чем-то неверно специфицирована. Далее мы вернемся к этому. Коэффициент 133 ООО при фиктивной переменной пред­ставляет собой оценку дополнительной величины постоянных издержек для профессиональной школы. Предельные издержки для профессиональных и обычных школ совпадают, как это и должно быть для данной спецификации модели. Рисунок 5.2 отражает эти данные и функции издержек, полученные в результате оценивания регрессии.

Условные обозначения: • Профессиональные школы О Обычные школы Рисунок 5.2. Функции издержек для обычных и профессиональных школ в Шанхае

Стандартные ошибки и проверка гипотез

Помимо оценок коэффициентов, результаты оценивания регрессии вклк- чают стандартные ошибки и различные диагностические статистики. Выпо." ним /-тест для коэффициента при фиктивной переменной. Наша нулевая г* потеза есть в данном случае #₀: Ь = 0, а альтернативная гипотеза Я,: ô * В словесной форме нулевая гипотеза здесь заключается в совпадении посто янных издержек для двух типов школ. Значение /-статистики здесь равно 6.4*; и нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости 0,1%. Мы также може* выполнить обычные /-тесты для остальных коэффициентов. Значение /-CTe- тистики для коэффициента при N равно 8,34, и мы можем заключить, что прк дельные издержки значимо отличаются от нуля. Для свободного члена /-сте тистика равна -1,43, и здесь мы не отвергаем нулевую гипотезу #₀: (3j = ; Таким образом, одно из возможных объяснений бессмысленного отрицатель­ного значения постоянных издержек для обычных школ может состоять в tov что они не имеют постоянных издержек вообще, и наша оценка есть прост: случайное число. Более реалистичен вариант гипотезы о том, что (3j положи­тельно, но мало (как можно видеть, 95%-ный доверительный интервал содер­жит положительные числа), а отрицательная оценка обусловлена поведение* случайного члена. И, как отмечалось ранее, еще одно возможное объяснены состоит в неверной спецификации модели.

Упражнения

5.1. Влияет ли пол студента на индивидуальную продолжительность обучения? Hi основе набора данных EAEF оцените регрессионную зависимость S от ASVAK SM, SFn MALE (фиктивной переменной, которая равна единице для респонден­тов мужского пола и нулю — для женского). Интерпретируйте коэффициенты »

выполните /-тесты. Есть ли какие-то подтверждения того, что продолжитель­ность обучения мужчин отличается от продолжительности обучения женщин?

2*. Ниже приведена распечатка результатов программы Stata для регрессии между весом и ростом, вначале — для линейной спецификации, а затем — для двойной логарифмической (в обоих случаях с включением определенной в упражнении 5.1 фиктивной переменной MALE). Дайте интерпретацию полученных уравне­ний и выполните соответствующие статистические тесты. Информация для ин­терпретации коэффициентов при фиктивных переменных в логарифмических регрессиях приведена во Вставке 5.1.

Используя набор данных EAEF, оцените регрессионную зависимость LGEARNcr. S, EXP и MALE. Интерпретируйте коэффициенты и выполните /-тесты. Инфор­мация для интерпретации коэффициентов при фиктивных переменных в полу логарифмических регрессиях приведена во Вставке 5.1.