2.2. Предпосылки регрессионной модели с нестохастическими регрессорами
А. 1. Модель линейна по параметрам и правильно специфицирована
Г=Р, + {32Х+м.
(2.1)«Линейна по параметрам» означает, что каждый член правой части включает р как простой множитель, и здесь нет встроенных зависимостей между Примером модели, не являющейся линейной по параметрам, может служить модель
У = \(2.2»
Мы отложим обсуждение аспектов, связанных с линейностью и нелинейностью, до гл. 4.
А. 2. Объясняющая переменная в выборке имеет некоторую вариацию
Очевидно, если величина Хв выборке постоянна, то она не может объяснить какую-либо вариацию переменной У. Если бы мы попытались оценить регрессию У на X, при постоянной X, мы бы обнаружили невозможность рассчитать коэффициенты регрессии. Величина Х1 равнялась бы Хддя всех /, следовательно, и числитель, и знаменатель выражения
------------------------ (2.3)
±{х-х)2
/=1
были бы равны нулю.
Если мы неспособны рассчитать Ь2, мы не сможем получить и ЬуА.З. Математическое ожидание случайного члена равно нулю
Е{ш) = 0 для всех /. (2.4)
Мы предполагаем, что ожидаемое значение случайного члена должно равняться нулю в каждом наблюдении. Случайный член может оказаться и положительным, и отрицательным, но он не должен включать систематического смещения ни в одном из направлении.
Действительно, если в регрессионное уравнение включен постоянный член, то обычно разумно считать, что это условие выполняется автоматически, поскольку функцией постоянного члена является отражение любой систематической постоянной части У, не связанной с объясняющими переменными, включенными в уравнение регрессии.
Чтобы сформулировать это математически, предположим, что наша регрессионная модель имеет вид^ = + Р Д + щ (2.5)
и
= (2.6)
где
Определим
Далее, используя (2.7) для замещения и[ в (2.5), имеем
РЛ + V,. + = р; + Р-Д. + V,, (2.8)
где = Р, + (хм. Случайный член преобразованной модели уже удовлетворяет рассматриваемому требованию, поскольку
Е(V) = Е(и{ - ци) = Е(и,) - Е(ци) = ци - рм = 0. (2.9)
Уплаченная цена заключается в изменении интерпретации постоянного члена. Он включил ненулевую составляющую случайного члена в дополнение :- дет обсуждено в гл. 7.
А.5. Значения случайного члена имеют взаимно независимые распределения
U; распределен независимо от wy для всех j * /. (2.121
Мы предполагаем, что случайный член не подвержен автокорреляции, т.е отсутствует систематическая связь между его значениями в любых двух наблюдениях. Например, то, что случайный член в одном наблюдении велик . положителен, не должно быть фактором его большого положительного значения в следующем наблюдении (или большого отрицательного, малого положительного, или же малого и отрицательного). Значения случайного член* должны быть абсолютно независимыми между собой.
Данная предпосылка означает, что guu — теоретическая ковариация межз ui и Uj — равна нулю, поскольку
V = е{(i* -[lu)(uj -\iu)} = e{ujuj) = e(uj)e(uj) = 0. (2.13}
(Отметим, что обе теоретические Средние Uj и Uj равны нулю в соответствие с предпосылкой (А.З) и что EiU/Uj) может быть разложено как E(u)E(Uj), если - и Uj сгенерированы независимо — см. главу «Обзор».)
Если данная предпосылка не выполняется, то МНК вновь дает неэффективные оценки. В гл. 12 обсуждаются возникающие при этом проблемы и пуг* их решения. Нарушения данной предпосылки для данных перекрестных выборок в любом случае редкие.
С помощью этих предпосылок мы покажем в данной главе, что оценку МНК являются наилучшими линейными (относительно наблюдений У) несмещенными оценками (BLUE: best linear unbiased estimators) и что сумма квадратов отклонений, деленная на число степеней свободы, является несмещенной оценкой
Еще по теме 2.2. Предпосылки регрессионной модели с нестохастическими регрессорами:
- 12.1. Допущения для регрессионных моделей с временными рядами
- 2.1. Типы данных и регрессионная модель
- 14.2. Регрессионные модели с фиксированным эффектом
- 12.СВОЙСТВА РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ С ВРЕМЕННЫМИ РЯДАМИ
- ПРЕДПОСЫЛКИ МОДЕЛИ
- Предпосылки классической модели
- 12.2. Допущение о независимости случайного члена и регрессоров
- 3.11. Взаимосвязи между критериями в парном регрессионном анализе
- Корреляционный и регрессионный анализ
- 2. ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
- 5. МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
- 1.ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
- 3.МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
- § 16.8. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ В ЛИНЕЙНОМ РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ