9.3. Оценивание с помощью инструментальных переменных

получаем следующую оценку по методу инструментальных переменных для Р₂:

Х(£Г,-£0(д-р) ^ип ₌ м . (9.21)

/=1

Покажем, что эта оценка состоятельна. Сделав подстановку из структурно­го уравнения для р, получаем

- £0([Рі + р₂"/ + и_рі] - [Рі + Р₂* + "„])

^ип _ і=1______________________________________

/=і

ІР₂(і/, - % - й)(и_рі - п_р)

_ І5І_________________________________ _

/=і

= Р₂ + ^-------------- :-------------- • (9-22)

£(«/,-1/)( щ-т /•=1

Мы не имеем возможности определить математическое ожидание величи­ны ошибки, так как оно содержит случайные величины, как в числителе, так и в знаменателе (напомним, что приведенная форма уравнения для н>₍. показы­вает его зависимость и от и_р1, и от и_т). Вместо этого мы используем предел по вероятности:

рШ^Щ-Щи^-й,) рШИ^ = Р₂ + ^ = соу()

^И/=1

= Р₂ + ,°_{гг Ч} = Р₂- (9.23)

со\(и, и*)

Обратите внимание на то, что нам пришлось поделить числитель и знаме­натель величины ошибки на п для того, чтобы их пределы по вероятности существовали. Величина со\(1/, и) = 0, если и экзогенна и, таким образом, распределена независимо от и_р. Величина рііш соу( II, и*) не равна нулю, по­скольку и влияет на я. Следовательно, полученная методом ИП оценка р₂ состоятельна.

В табл. 9.2 приведены результаты оценивания модели, представленной в разделе 9.2, с помощью метода инструментальных переменных. В отличие от

мнк ип

оценок по МНК, оценки по методу ИП распределены вокруг истинных значе­ний параметров, и среднее значение оценок коэффициента наклона (истин­ное значение 0,5) равно 0,37, а среднее значение свободного члена (истинное значение 1,5) равно 1,69. Сравнивать стандартные ошибки при использова­нии этих двух подходов нет смысла. Рассчитанные по МНК стандартные ошибки могут быть несколько меньшими, но смещенность в рамках системы одновременных уравнений делает их некорректными. Стандартные ошибки, соответствующие методу ИП, являются корректными только для больших вы­борок, но могут быть приблизительно корректными и для конечных выбо­рок.

Эксперимент был повторен для одного миллиона выборок, с использова­нием одинаковых значений £/, но разных случайных значений и_р. Распределе­ние МНК- и ИП-оценок показано на рис. 9.3. Среднее значение оценок с по-

Рис. 9.3

мощью ИП равно 0,46. Напомним, что ИП-оценка состоятельна, поэтому она стремится к реальному значению для больших выборок, однако это не значит, что она является несмещенной для конечных выборок. В нашем примере она оказалась смещенной вниз, по крайней мере для размера выборки, равного 20, но смещение невелико и уж точно меньше, чем смещение вверх при ис­пользовании МНК. Стандартное отклонение ИП-оценок равно 0,26. Стан­дартные ошибки ИП-оценок, представленные в табл. 9.2, действительно ока­зались распределены вокруг этой цифры.

В рассмотренном примере метод ИП дает несомненно лучшие результаты, чем МНК, но этот итог не был предопределен. Дисперсия ИП-оценки будет в целом больше, чем дисперсия МНК-оценки. Если мы используем плохой ин­струмент, слабо коррелированный с той переменной, которую он заменяет, дисперсия ИП-оценки может быть намного больше.

Неидентифицируемость

Если оценить с помощью МНК зависимость для инфляции, вызванной ростом заработной платы

V/ = а₁ + а₂р + а_зи+и_к, (9.24)

то оценки будут смещены в связи с косвенной зависимостью рог u_wв системе одновременных уравнений. Однако в данном случае невозможно воспользо­ваться методом инструментальных переменных, и говорят, что уравнение не- идентифицируемо (недоопределено). Единственным фактором, определяю­щим р, помимо случайных членов, является переменная и, но она уже присут­ствует в модели. Попытка использовать ее в качестве инструмента для р привела бы к появлению совершенной мультиколлинеарности, и получение оценок параметров оказалось бы невозможным. Воспользовавшись выраже­нием из Вставки 9.1, получим:

где и числитель, и знаменатель равняются нулю.

Предположим, однако, что темп общей инфляции зависит также (наряду с темпом прироста заработков) от темпа прироста денежной массы т и что пе­ременная т экзогенна:

р = ^ + ^ + + (9.26)

Приведенная форма уравнений приобретает вид

_{Р =} р! + СХ1Р2 + ймчЙгЩф' - - ".........................

что Х₂ распределена независимо да и и таа 7. * качестве инстру­мента для ^ Тслда оцеухи по меюду ИП и »эффиииЬра -Рг записывается как

_ _ ________________ 15]__________ 1=1 ._____________ н ■ .______

- Шъ - ^>1^3/ - - - - гкХуг^Яь)

^н

Оценка коэффициента Р₃ по метоау ИП «пмчается только тем, что индДО» 2 КГ 3В НейШНЯЮТСЯ ЕИестав». ' ' ' ⁴ .

Переменная и может быть использована как инструмент для м> в уравнении для общей инфляции, как и ранее, а переменная т может быть использована как инструмент для р в уравнении д ля инфляции, вызванной ростом заработ­ной платы, поскольку она удовлетворяет всем трем требованиям к инструмен­тальной переменной. Она коррелирована с р, являясь одним из ее детерми­нантов; она не коррелирована со случайным членом, являясь экзогенной; и она сама отсутствует в уравнении структурной формы. Оба структурных уравнения теперь являются однозначно (точно) идентифицируемыми (опреде­ленными), что означает, что число экзогенных переменных, являющихся по­тенциальными инструментами (т.е. еще не включенными в уравнение сами по себе), равно числу эндогенных переменных, требующих использования ин­струментов.

Сверхидентифицируемость и двухшаговый метод наименьших квадратов

Далее рассмотрим модель

р = ^ + ^ + и_р, (9.29)

= а, + а ₂р + а_зи+ а₄х + и_у/, (9.30)

где х — темп прироста производительности. Уравнения соответствующей при­веденной формы имеют вид

₌ & + а$₂ + + ^а4&2* + и_р + .

^Р 1-«₂Р₂

а, + а₂Р, + а₃и + а₄х + и_№ + а ₂и_р 1-а₂р₂

Уравнение для заработной платы неидентифицируемо, поскольку отсут­ствует экзогенная переменная, которая могла бы служить в качестве инстру­мента для р. Переменная р коррелирована и с и, и с х, но обе эти переменные уже присутствуют в правой части уравнения для заработной платы. Уравнение для общей инфляции теперь, однако, сверхидентифицируемо, поскольку у нас имеются два потенциальных инструмента для и*. Как и ранее, переменная и может служить инструментом для и*:

Х^.-СООь-р) ^ип _{= (9 33)}

1=1

В качестве альтернативного инструмента может быть использована пере­менная х:

п

^(д:, - х)(р, - р)

^ип ₌ м----------- . (9.34)

- -

/=1

Обе оценки состоятельны и, таким образом, будут сближаться с истинным значением и, следовательно, друг с другом по мере увеличения размера вы­борки, но для конечных выборок они дают разные результаты. Предположим, что необходимо сделать между этими оценками выбор (хотя, как мы увидим, на самом деле это не так). Какую из них выбрать? Теоретическая дисперсия первой из оценок равна

2

^стс = --------------------- (9-35)

ЯО^{2 г}">^и

/=1

Теоретическая дисперсия второй оценки описывается подобным же выра­жением, в котором выборочный коэффициент корреляции берется для пере­менных и* и х. Мы хотим, чтобы теоретическая дисперсия была как можно меньшей, и поэтому выберем оценку с более высоким коэффициентом корре­ляции.

Двухшаговый метод наименьших квадратов

В действительности в данной ситуации вместо выбора между двумя ин­струментами мы построим их линейную функцию и воспользуемся ею. Глав­

ная причина этого заключается в том, что, вообще говоря, линейная функция с должным образом подобранными весами оказывается более эффективной, чем каждый инструмент по отдельности. Вторая причина — в том, что исполь­зование линейной функции снимает проблему конфликта между оценками. Пусть Zecть линейная функция вида

7=А, + А ₂и+Н₃х. (9.36)

Каким образом выбираются коэффициенты А? Оказывается, очень просто. С помощью МНК оценивается регрессия у/ на и и л:, и рассчитанные по ней теоретические значения м> называются значениями Z:

г = $ = }1₁ + к₂и + к₃х. (9.37)

Эта величина естественным образом является линейной функцией и и х, и коэффициенты А выбираются таким образом, чтобы максимизировать корре­ляцию между рассчитанными значениями и Как мы видели в гл. 1, МНК дает оптимальные оценки с точки зрения трех взаимно эквивалентных крите­риев: минимизации суммы квадратов отклонений, максимизации Я² и (важ­ный здесь критерий) максимизации корреляции между действительными и расчетными значениями зависимой переменной. Это первый шаг в оценива­нии с помощью двухшагового метода наименьших квадратов. Второй шаг за­ключается в оценивании Р₂ с использованием Zв качестве инструмента:

£(*,■ - - р) £(*< - * )(А - Р)

^дмнк ₌ м---------------------------- ₌ М--------------------------- . ₍9.з₈)

(^ - - йо - \vXwi - щ

/=1 /=1

Теоретическая дисперсия 6₂^дмнк задается соотношением

, 1 а£дм„_к = ------------- ^ х —, (9.39)

£(*>,. - мо² ^ /=1

и в общем случае эта величина будет меньше, чем теоретическая дисперсия ИП-оценок при использовании II или х, потому что коэффициент корреля­ции будет выше.

Условие размерности для идентификации

Как мы уже убедились, в общем случае уравнение окажется идентифици­руемым, если имеется достаточно экзогенных переменных, не включенных в само уравнение, которые можно использовать как инструментальные для всех эндогенных переменных уравнения. В полностью определенной модели будет столько уравнений, сколько имеется эндогенных переменных. Предпо­ложим, что число и тех, и других равно С. Максимальное число эндогенных переменных, которые могут появиться в правой части уравнения, равно £7- 1 (оставшаяся переменная — зависимая переменная этого уравнения). В таком случае нам необходимо по крайней мере G - 1 экзогенных переменных, не включенных в это уравнение, которые использовались бы как инструмен­тальные.

Предположим, однако, что в уравнение не включено j эндогенных пере­менных. Тогда нам понадобится лишь G - I - j инструментальных перемен­ных, т.е. G - 1 - j экзогенных переменных не должны быть включены в это уравнение. Однако общее число невключенных переменных остается преж­ним: j эндогенных переменных и G - 1 -j экзогенных переменных составляют в сумме G- 1.

Таким образом, мы приходим к общему выводу о том, что уравнение из модели с одновременными уравнениями наверняка окажется идентифициру­емым, если в него не включены G- 1 или более переменных. Если не включе­но точно G- 1 переменных, оно, скорее всего, будет однозначно идентифици­руемым, и в этом случае к одинаковым результатам приведет применение ДМНК или метода ИП. Если не включены более G -1 переменных, уравнение будет сверхидентифицируемым, и для его оценки используется ДМНК.

Это правило известно как условие размерности для идентификации. Здесь необходимо подчеркнуть, что это условие является необходимым для иденти­фикации, но вовсе не достаточным. Имеются случаи, которые мы не будем обсуждать здесь, когда уравнение является на самом деле неидентифициру- емым, однако условие размерности для него выполняется.

Неявная неоднородность

В рассмотренных выше примерах смещение в системах одновременных уравнений и оценивание с помощью инструментальных переменных были обсуждены в контексте полностью специфицированных моделей, состоящих из нескольких уравнений. Однако эти вопросы принято также обсуждать и в рамках моделей, состоящих из одного уравнения, которое неявно включено в систему одновременных уравнений, другие соотношения которой не опреде­лены. Например, в случае с функцией заработка

LGEARN=$_x + $₂S+... + u, (⁹-⁴°)

часто считается, что «неявная неоднородность» может вызвать смещенность оценки Р₂, полученной по методу наименьших квадратов. В данном случае по­нятие неявной неоднородности относится к ненаблюдаемым колебаниям та­ких характеристик респондентов, как амбиции и различные виды умственных особенностей и способностей, которые влияют как на продолжительность обучения, так и на заработки. Поскольку эти факторы ненаблюдаемы, их вли­яние должно быть уловлено случайным членом, в результате чего Shu оказы­ваются положительно коррелированными. Вследствие этого МНК-оценка коэффициента Р₂ имеет положительное смещение. В таком случае вместо пе­ременной £ требуется использование подходящего инструмента.

Для нахождения надежного инструмента, тем не менее, требуется немалая изобретательность, поскольку большинство факторов, воздействующих на продолжительность обучения, влияют также и на уровень заработка. Одним из примеров может быть территориальная близость колледжа с четырехлет­ним обучением, использованная Д. Кардом (Card, 1995), который утверждает,

что этот показатель может влиять на продолжительность обучения, хотя вряд ли влияет на размер заработка.

В табл. 9.3 представлены результаты оценивания регрессий с помощью МНК и метода ИП по выборке из ЗОЮ мужчин, взятой из данных Националь­ной выборочной переписи молодых мужчин, исследования панельных дан­ных, предшествовавшего ЫЬБУ. Данные о заработках относятся к 1976 г. Ре­грессии включают также не показанные в таблице личные, семейные и регио­нальные характеристики. Как можно видеть, использование территориальной близости колледжа с четырехлетним обучением в качестве инструмента для продолжительности обучения привносит отличие, однако оно имеет противо­положное к ожидаемому направление, поскольку если МНК-оценка смещена вверх, то оценка по методу ИП должна быть меньшей, а не большей. Ошибка измерения Б, которая может вызвать смещение МНК-оценки вниз, может быть причиной части, но не всего эффекта неверного направления смещения. Кард попытался дать объяснение этому на основе более высокой, чем сред­няя, отдачи затрат на обучение для тех, у кого родители менее образованны, в сочетании с более высокой чувствительностью продолжительности обуче­ния к территориальной близости колледжа для этих респондентов. Однако, хотя продолжительность обучения положительно коррелирована с террито­риальной близостью колледжа, корреляция здесь мала, и поэтому велика стандартная ошибка оценки по методу ИП. Таким образом, возможно, что на­блюдаемое увеличение оценки коэффициента произошло случайным образом и что тест Дарбина-Ву—Хаусмана покажет, что оценки по МНК и методу ИП значимо не различаются.

ТестДарбина—Ву—Хаусмана

В гл. 8 было показано, что ошибки измерения вызывают нарушение пред­посылки регрессионной модели о том, что случайный член распределен неза­висимо от объясняющих переменных и что для проверки на наличие ошибок измерения можно воспользоваться тестом Дарбина—Ву—Хаусмана, позволя­ющим сравнить оценки по МНК и по методу ИП. Данный тест может быть использован аналогичным образом и в более широком круге ситуаций, когда нарушается эта предпосылка, в частности в системах одновременных уравне­ний. Чтобы проиллюстрировать это, вернемся к описанному выше экспери­менту по методу Монте-Карло. Распечатка результатов оценивания регрес­сии, приведенная ниже (табл. 9.4), отражает выполнение теста для первых 10 повторений эксперимента, обобщенных в табл. 9.2.

При нулевой гипотезе об отсутствии смещения в системе одновременных уравнений методы МНК и ИП дают состоятельные оценки, но МНК-оценки более эффективны. При выполнении альтернативной гипотезы МНК-оценки

Вставка 9.2. Косвенный метод наименьших квадратов

Косвенный метод наименьших квадратов — еще одна процедура для получе­ния состоятельных оценок параметров в системах одновременных уравнений. Он больше не используется на практике, однако представляет определенный учеб­ный интерес. Возвратимся к модели обшей и вызванной ростом заработной платы инфляции:

/> = р, + р₂ин-и_р; м> = а, + а ₂р + а₃£/+м_№, ДЛЯ которой уравнения приведенной формы ДЛЯ Р ИИ' имеют вид

₌ р₁ + оцрз + а₃Р2^ + ^ир + М».

1 ~ «202 а, + а₂р, + а₃1/ + + а ₂и

и; =

1 - а₂р₂

Если переменная и экзотенна, то она независима от и_р и и^ и таким образом МНК даст несмещенные оценки параметров уравнений. Параметры этих уравне­ний являются, разумеется, функциями параметров структурных уравнений, и мо­жет оказаться возможным рассчитать по ним оценки этих параметров. Например, оцененные уравнения приведенной формы для первого повторения эксперимен­та Монте-Карло таковы:

р = 2,9741 -0,0705(7;

IV = 3,9871 -0,435217.

Далее, связав полученные числовые оценки с теоретическими коэффициента­ми, получаем четыре уравнения:

= 2,9741; = -0,0705; _{= 3?9871; =} _₀,4352.

1 - а₂Ь₂ 1 - а₂Ь₂ 1 - а₂Ь₂ 1 - а₂Ь₂

Подставив четвертое уравнение во второе, получаем -0,4352^ = -0,0705 и, та­ким образом, Ь-, = 0,1620. Далее, поскольку ^ ⁺ - Ь₂ ^{+ а}= А, имеем

1 - а₂Ь₂ 1 - =------------------- ^:--------------------------- -.

1-а₂р₂

Предположим, что, оценив эти уравнения, мы получили (в абстрактной форме)

р = В_] +В₂и+В^х] $>=А₁ +А₂и-\-А₃х,

где В. и А₁. — числовые значения коэффициентов регрессии. Связав эти числа с их теоретическими аналогами, мы получаем шесть уравнений с шестью неиз­вестными:

А±2А _{= в т в}. , _в

1 - а₂Ь2 1 ~ а₂Ь₂ ~ 1 - а₂1ъ

1 - а₂Ь₂ 1 - а₂Ь₂ 1 - а₂Ъ₂

Подставляя пятое уравнение во второе, имеем А₂Ь₂ = В₂ и, таким образом, В₂/А₂ дает оценку для р₂. Однако, подставив шестое уравнение в третье, получа­ем Аф₂ - В₃ и, таким образом, В_г/А_г также дает оценку для (3₂. Таким образом, мы можем получить более чем одну оценку, и модель является сверхидентифициру- емой. Это является аналогом наличия альтернативных инструментов при ис­пользовании метода ИП. Обе оценки состоятельны, и поэтому на больших вы­борках они обе сближаются с истинным значением, но на конечных выборках они различаются. Можно также получить и различающиеся оценки для (3,. Од­нако получить оценки для остальных параметров здесь невозможно, и уравне­ние для заработной платы неидентифицируемо.

Косвенный МНК не имеет преимуществ по сравнению с методом ИП, но обладает недостатком — большим объемом расчетов. Если уравнение неиденти­фицируемо с точки зрения метода И П, то оно неидентифицируемо и для КМНК; если оно однозначно идентифицируемо, то оценки по методам ИП и КМНК идентичны; если оно сверхидентифицируемо, то КМНК дает взаимно противо­речивые оценки, и эта проблема решается в рамках метода ИП с помощью ис­пользования двухшагового МНК.________________________________________________________________

несостоятельны. Как можно видеть по распечатке, статистика х², обобщаю­щая различия в значениях коэффициентов, равна 5,88. В принципе, мы долж­ны использовать две степени свободы, так как мы сравниваем два параметра. Критическое значение у} с двумя степенями свободы при уровне значимости 5% равно 5,99, и, следовательно, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу на заданном уровне значимости. Этот вывод является неожиданностью, по­скольку применение метода Монте-Карло для модели одновременных урав­нений было призвано показать, что оценивание по МНК дает несостоятель­ные оценки. То, что нам не удалось отвергнуть нулевую гипотезу, является примером ошибки II рода, скорей всего произошедшей из-за недостаточной величины выборки и неточности оценок.

Ключевые понятия

смещение в одновременных уравнениях

тест Дарбина-Ву-Хаусмана

уравнение в приведенной форме

уравнение в структурной форме

условие размерности для идентификации

экзогенная переменная

эндогенная переменная

Упражнения

9.4*. В таблице приведены данные (в долл. США) о потреблении на душу населения (С), совокупный среднедушевой объем формирования постоянного капитала (/) и валовой внутренний продукт на душу населения(У) для 33 странв 1998 г. Ниже приведены распечатки результатов оценивания регрессии С на У по МНК и ре­грессии по методу ИП с использованием I как инструмента для У. Прокоммен­тируйте различия в результатах.

5. Исследователь, упомянутый в упражнении 9.3, обнаруживает, что объем расхо­дов на рекламу в предыдущем году А(-1) является одним из важных факторов в определении величины А, так что модель приобретает вид

А = а, + 0^5 + chi2 = 0.0416