9.3. Оценивание с помощью инструментальных переменных
получаем следующую оценку по методу инструментальных переменных для Р2:
Х(£Г,-£0(д-р) ^ип = м . (9.21)
/=1
Покажем, что эта оценка состоятельна. Сделав подстановку из структурного уравнения для р, получаем
- £0([Рі + р2"/ + ирі] - [Рі + Р2* + "„])
^ип _ і=1______________________________________
/=і
ІР2(і/, - % - й)(ирі - пр)
_ І5І_________________________________ _
/=і
= Р2 + ^-------------- :-------------- • (9-22)
£(«/,-1/)( щ-т /•=1
Мы не имеем возможности определить математическое ожидание величины ошибки, так как оно содержит случайные величины, как в числителе, так и в знаменателе (напомним, что приведенная форма уравнения для н>(. показывает его зависимость и от ир1, и от ит). Вместо этого мы используем предел по вероятности:
рШ^Щ-Щи^-й,) рШИ^ = Р2 + ^ = соу()
И/=1
= Р2 + ,°гг Ч = Р2- (9.23)
со\(и, и*)
Обратите внимание на то, что нам пришлось поделить числитель и знаменатель величины ошибки на п для того, чтобы их пределы по вероятности существовали.
Величина со\(1/, и) = 0, если и экзогенна и, таким образом, распределена независимо от ир. Величина рііш соу( II, и*) не равна нулю, поскольку и влияет на я. Следовательно, полученная методом ИП оценка р2 состоятельна.В табл. 9.2 приведены результаты оценивания модели, представленной в разделе 9.2, с помощью метода инструментальных переменных. В отличие от
мнк ип
Выборка | ь, | с.о.(Ь,) | ь2 | с.о.(Ь2) | Ь1 | с.о.(Ь^) | Ь2 | с.о.(Ь2) |
1 | 0,36 | 0,39 | 1,11 | 0,22 | 2,33 | 0,97 | 0,16 | 0,45 |
2 | 0,45 | 0,38 | 1,06 | 0,17 | 1,53 | 0,57 | 0,53 | 0,26 |
3 | 0,65 | 0,27 | 0,94 | 0,12 | 1,13 | 0,32 | 0,70 | 0,15 |
4 | 0,41 | 0,39 | 0,98 | 0,19 | 1,55 | 0,59 | 0,37 | . 0,30 |
5 | 0,92 | 0,46 | 0,77 | 0,22 | 2,31 | 0,71 | 0,06 | 0,35 |
6 | 0,26 | 0,35 | 1,09 | 0,16 | 1,24 | 0,52 | 0,59 | 0,25 |
7 | 0,31 | 0,39 | 1,00 | 0,19 | 1,52 | 0,62 | 0,33 | 0,32 |
8 | 1,06 | 0,38 | 0,82 | 0,16 | 1,95 | 0,51 | 0,41 | 0,22 |
9 | -0,08 | 0,36 | 1,16 | 0,18 | 1,11 | 0,62 | 0,45 | 0,33 |
10 | 1,12 | 0,43 | 0,69 | 0,20 | 2,26 | 0,61 | 0,13 | 0,29 |
оценок по МНК, оценки по методу ИП распределены вокруг истинных значений параметров, и среднее значение оценок коэффициента наклона (истинное значение 0,5) равно 0,37, а среднее значение свободного члена (истинное значение 1,5) равно 1,69.
Сравнивать стандартные ошибки при использовании этих двух подходов нет смысла. Рассчитанные по МНК стандартные ошибки могут быть несколько меньшими, но смещенность в рамках системы одновременных уравнений делает их некорректными. Стандартные ошибки, соответствующие методу ИП, являются корректными только для больших выборок, но могут быть приблизительно корректными и для конечных выборок.Эксперимент был повторен для одного миллиона выборок, с использованием одинаковых значений £/, но разных случайных значений ир. Распределение МНК- и ИП-оценок показано на рис. 9.3. Среднее значение оценок с по-
![]() Рис. 9.3 |
мощью ИП равно 0,46. Напомним, что ИП-оценка состоятельна, поэтому она стремится к реальному значению для больших выборок, однако это не значит, что она является несмещенной для конечных выборок. В нашем примере она оказалась смещенной вниз, по крайней мере для размера выборки, равного 20, но смещение невелико и уж точно меньше, чем смещение вверх при использовании МНК. Стандартное отклонение ИП-оценок равно 0,26. Стандартные ошибки ИП-оценок, представленные в табл. 9.2, действительно оказались распределены вокруг этой цифры.
В рассмотренном примере метод ИП дает несомненно лучшие результаты, чем МНК, но этот итог не был предопределен. Дисперсия ИП-оценки будет в целом больше, чем дисперсия МНК-оценки. Если мы используем плохой инструмент, слабо коррелированный с той переменной, которую он заменяет, дисперсия ИП-оценки может быть намного больше. Таким образом, если бы смещение оказалось меньшим, то, возможно, МНК мог бы дать лучшие оценки с точки зрения критерия типа средней квадратической ошибки, который учитывает смещение и дисперсию оценок.
Неидентифицируемость
Если оценить с помощью МНК зависимость для инфляции, вызванной ростом заработной платы
V/ = а1 + а2р + ази+ик, (9.24)
то оценки будут смещены в связи с косвенной зависимостью рог uwв системе одновременных уравнений.
Однако в данном случае невозможно воспользоваться методом инструментальных переменных, и говорят, что уравнение не- идентифицируемо (недоопределено). Единственным фактором, определяющим р, помимо случайных членов, является переменная и, но она уже присутствует в модели. Попытка использовать ее в качестве инструмента для р привела бы к появлению совершенной мультиколлинеарности, и получение оценок параметров оказалось бы невозможным. Воспользовавшись выражением из Вставки 9.1, получим:1=1 | -ад | -тЪи, 1=1 | -и? | -Хад 1=1 | /=1 | -ад | -и) | |
п к*. 1=1 | 1=1 | -й)2 | 1=1 | -й)Ьгг /=1 | -ад | -й) | ||
1% ■ 1=1 | -им | /=1 | -й)2 | /=1 | /=1 | -ад- | -й) | |
Ьъ /=1 | -и){р> | -р)Ъиг 1=1 | -и? | -Хи- 1=1 | - р)% - | -и)Ъи,- 1=1 | -ад- | 1 -и) |
где и числитель, и знаменатель равняются нулю.
Предположим, однако, что темп общей инфляции зависит также (наряду с темпом прироста заработков) от темпа прироста денежной массы т и что переменная т экзогенна:
р = ^ + ^ + + (9.26)
Приведенная форма уравнений приобретает вид
Р = р! + СХ1Р2 + ймчЙгЩф' - - ".........................
что Х2 распределена независимо да и и таа 7. * качестве инструмента для ^ Тслда оцеухи по меюду ИП и »эффиииЬра -Рг записывается как
_ _ ________________ 15]__________ 1=1 ._____________ н ■ .______
- Шъ - ^>1^3/ - - - - гкХуг^Яь)
^н
Оценка коэффициента Р3 по метоау ИП «пмчается только тем, что индДО» 2 КГ 3В НейШНЯЮТСЯ ЕИестав». ' ' ' 4 .
Переменная и может быть использована как инструмент для м> в уравнении для общей инфляции, как и ранее, а переменная т может быть использована как инструмент для р в уравнении д ля инфляции, вызванной ростом заработной платы, поскольку она удовлетворяет всем трем требованиям к инструментальной переменной. Она коррелирована с р, являясь одним из ее детерминантов; она не коррелирована со случайным членом, являясь экзогенной; и она сама отсутствует в уравнении структурной формы. Оба структурных уравнения теперь являются однозначно (точно) идентифицируемыми (определенными), что означает, что число экзогенных переменных, являющихся потенциальными инструментами (т.е. еще не включенными в уравнение сами по себе), равно числу эндогенных переменных, требующих использования инструментов.
Сверхидентифицируемость и двухшаговый метод наименьших квадратов
Далее рассмотрим модель
р = ^ + ^ + ир, (9.29)
= а, + а 2р + ази+ а4х + иу/, (9.30)
где х — темп прироста производительности. Уравнения соответствующей приведенной формы имеют вид
= & + а$2 + + а4&2* + ир + .
Р 1-«2Р2
а, + а2Р, + а3и + а4х + и№ + а 2ир 1-а2р2
Уравнение для заработной платы неидентифицируемо, поскольку отсутствует экзогенная переменная, которая могла бы служить в качестве инструмента для р. Переменная р коррелирована и с и, и с х, но обе эти переменные уже присутствуют в правой части уравнения для заработной платы. Уравнение для общей инфляции теперь, однако, сверхидентифицируемо, поскольку у нас имеются два потенциальных инструмента для и*. Как и ранее, переменная и может служить инструментом для и*:
Х^.-СООь-р) ^ип = (9 33)
1=1
В качестве альтернативного инструмента может быть использована переменная х:
п
^(д:, - х)(р, - р)
^ип = м----------- . (9.34)
- -
/=1
Обе оценки состоятельны и, таким образом, будут сближаться с истинным значением и, следовательно, друг с другом по мере увеличения размера выборки, но для конечных выборок они дают разные результаты. Предположим, что необходимо сделать между этими оценками выбор (хотя, как мы увидим, на самом деле это не так). Какую из них выбрать? Теоретическая дисперсия первой из оценок равна
2
стс = --------------------- (9-35)
ЯО2 г">и
/=1
Теоретическая дисперсия второй оценки описывается подобным же выражением, в котором выборочный коэффициент корреляции берется для переменных и* и х. Мы хотим, чтобы теоретическая дисперсия была как можно меньшей, и поэтому выберем оценку с более высоким коэффициентом корреляции.
Двухшаговый метод наименьших квадратов
(9.31) (9.32) |
В действительности в данной ситуации вместо выбора между двумя инструментами мы построим их линейную функцию и воспользуемся ею. Глав
ная причина этого заключается в том, что, вообще говоря, линейная функция с должным образом подобранными весами оказывается более эффективной, чем каждый инструмент по отдельности. Вторая причина — в том, что использование линейной функции снимает проблему конфликта между оценками. Пусть Zecть линейная функция вида
7=А, + А 2и+Н3х. (9.36)
Каким образом выбираются коэффициенты А? Оказывается, очень просто. С помощью МНК оценивается регрессия у/ на и и л:, и рассчитанные по ней теоретические значения м> называются значениями Z:
г = $ = }11 + к2и + к3х. (9.37)
Эта величина естественным образом является линейной функцией и и х, и коэффициенты А выбираются таким образом, чтобы максимизировать корреляцию между рассчитанными значениями и Как мы видели в гл. 1, МНК дает оптимальные оценки с точки зрения трех взаимно эквивалентных критериев: минимизации суммы квадратов отклонений, максимизации Я2 и (важный здесь критерий) максимизации корреляции между действительными и расчетными значениями зависимой переменной. Это первый шаг в оценивании с помощью двухшагового метода наименьших квадратов. Второй шаг заключается в оценивании Р2 с использованием Zв качестве инструмента:
£(*,■ - - р) £(*< - * )(А - Р)
^дмнк = м---------------------------- = М--------------------------- . (9.з8)
(^ - - йо - \vXwi - щ
/=1 /=1
Теоретическая дисперсия 62дмнк задается соотношением
, 1 а£дм„к = ------------- ^ х —, (9.39)
£(*>,. - мо2 ^ /=1
и в общем случае эта величина будет меньше, чем теоретическая дисперсия ИП-оценок при использовании II или х, потому что коэффициент корреляции будет выше.
Условие размерности для идентификации
Как мы уже убедились, в общем случае уравнение окажется идентифицируемым, если имеется достаточно экзогенных переменных, не включенных в само уравнение, которые можно использовать как инструментальные для всех эндогенных переменных уравнения. В полностью определенной модели будет столько уравнений, сколько имеется эндогенных переменных. Предположим, что число и тех, и других равно С. Максимальное число эндогенных переменных, которые могут появиться в правой части уравнения, равно £7- 1 (оставшаяся переменная — зависимая переменная этого уравнения). В таком случае нам необходимо по крайней мере G - 1 экзогенных переменных, не включенных в это уравнение, которые использовались бы как инструментальные.
Предположим, однако, что в уравнение не включено j эндогенных переменных. Тогда нам понадобится лишь G - I - j инструментальных переменных, т.е. G - 1 - j экзогенных переменных не должны быть включены в это уравнение. Однако общее число невключенных переменных остается прежним: j эндогенных переменных и G - 1 -j экзогенных переменных составляют в сумме G- 1.
Таким образом, мы приходим к общему выводу о том, что уравнение из модели с одновременными уравнениями наверняка окажется идентифицируемым, если в него не включены G- 1 или более переменных. Если не включено точно G- 1 переменных, оно, скорее всего, будет однозначно идентифицируемым, и в этом случае к одинаковым результатам приведет применение ДМНК или метода ИП. Если не включены более G -1 переменных, уравнение будет сверхидентифицируемым, и для его оценки используется ДМНК.
Это правило известно как условие размерности для идентификации. Здесь необходимо подчеркнуть, что это условие является необходимым для идентификации, но вовсе не достаточным. Имеются случаи, которые мы не будем обсуждать здесь, когда уравнение является на самом деле неидентифициру- емым, однако условие размерности для него выполняется.
Неявная неоднородность
В рассмотренных выше примерах смещение в системах одновременных уравнений и оценивание с помощью инструментальных переменных были обсуждены в контексте полностью специфицированных моделей, состоящих из нескольких уравнений. Однако эти вопросы принято также обсуждать и в рамках моделей, состоящих из одного уравнения, которое неявно включено в систему одновременных уравнений, другие соотношения которой не определены. Например, в случае с функцией заработка
LGEARN=$x + $2S+... + u, (9-4°)
часто считается, что «неявная неоднородность» может вызвать смещенность оценки Р2, полученной по методу наименьших квадратов. В данном случае понятие неявной неоднородности относится к ненаблюдаемым колебаниям таких характеристик респондентов, как амбиции и различные виды умственных особенностей и способностей, которые влияют как на продолжительность обучения, так и на заработки. Поскольку эти факторы ненаблюдаемы, их влияние должно быть уловлено случайным членом, в результате чего Shu оказываются положительно коррелированными. Вследствие этого МНК-оценка коэффициента Р2 имеет положительное смещение. В таком случае вместо переменной £ требуется использование подходящего инструмента.
Для нахождения надежного инструмента, тем не менее, требуется немалая изобретательность, поскольку большинство факторов, воздействующих на продолжительность обучения, влияют также и на уровень заработка. Одним из примеров может быть территориальная близость колледжа с четырехлетним обучением, использованная Д. Кардом (Card, 1995), который утверждает,
что этот показатель может влиять на продолжительность обучения, хотя вряд ли влияет на размер заработка.
В табл. 9.3 представлены результаты оценивания регрессий с помощью МНК и метода ИП по выборке из ЗОЮ мужчин, взятой из данных Национальной выборочной переписи молодых мужчин, исследования панельных данных, предшествовавшего ЫЬБУ. Данные о заработках относятся к 1976 г. Регрессии включают также не показанные в таблице личные, семейные и региональные характеристики. Как можно видеть, использование территориальной близости колледжа с четырехлетним обучением в качестве инструмента для продолжительности обучения привносит отличие, однако оно имеет противоположное к ожидаемому направление, поскольку если МНК-оценка смещена вверх, то оценка по методу ИП должна быть меньшей, а не большей. Ошибка измерения Б, которая может вызвать смещение МНК-оценки вниз, может быть причиной части, но не всего эффекта неверного направления смещения. Кард попытался дать объяснение этому на основе более высокой, чем средняя, отдачи затрат на обучение для тех, у кого родители менее образованны, в сочетании с более высокой чувствительностью продолжительности обучения к территориальной близости колледжа для этих респондентов. Однако, хотя продолжительность обучения положительно коррелирована с территориальной близостью колледжа, корреляция здесь мала, и поэтому велика стандартная ошибка оценки по методу ИП. Таким образом, возможно, что наблюдаемое увеличение оценки коэффициента произошло случайным образом и что тест Дарбина-Ву—Хаусмана покажет, что оценки по МНК и методу ИП значимо не различаются.
Таблица 9.3
|
ТестДарбина—Ву—Хаусмана
В гл. 8 было показано, что ошибки измерения вызывают нарушение предпосылки регрессионной модели о том, что случайный член распределен независимо от объясняющих переменных и что для проверки на наличие ошибок измерения можно воспользоваться тестом Дарбина—Ву—Хаусмана, позволяющим сравнить оценки по МНК и по методу ИП. Данный тест может быть использован аналогичным образом и в более широком круге ситуаций, когда нарушается эта предпосылка, в частности в системах одновременных уравнений. Чтобы проиллюстрировать это, вернемся к описанному выше эксперименту по методу Монте-Карло. Распечатка результатов оценивания регрессии, приведенная ниже (табл. 9.4), отражает выполнение теста для первых 10 повторений эксперимента, обобщенных в табл. 9.2.
При нулевой гипотезе об отсутствии смещения в системе одновременных уравнений методы МНК и ИП дают состоятельные оценки, но МНК-оценки более эффективны. При выполнении альтернативной гипотезы МНК-оценки
. ivreg р (w=U) Instrumental variables (2SLS) regression
b = consistent under Ho and Ha; obtained from ivreg B = inconsistent under Ha, efficient under Ho; obtained from regress Test: Ho: difference in coefficients not systematic chi2(2) = (b-B)'[(V_b-V_B)-(-1)](b-B) = 5.88 Prob>chi2 = 0.0528 |
Вставка 9.2. Косвенный метод наименьших квадратов
Косвенный метод наименьших квадратов — еще одна процедура для получения состоятельных оценок параметров в системах одновременных уравнений. Он больше не используется на практике, однако представляет определенный учебный интерес. Возвратимся к модели обшей и вызванной ростом заработной платы инфляции:
/> = р, + р2ин-ир; м> = а, + а 2р + а3£/+м№, ДЛЯ которой уравнения приведенной формы ДЛЯ Р ИИ' имеют вид
= р1 + оцрз + а3Р2^ + ир + М».
1 ~ «202 а, + а2р, + а31/ + + а 2и
и; =
1 - а2р2
Если переменная и экзотенна, то она независима от ир и и^ и таким образом МНК даст несмещенные оценки параметров уравнений. Параметры этих уравнений являются, разумеется, функциями параметров структурных уравнений, и может оказаться возможным рассчитать по ним оценки этих параметров. Например, оцененные уравнения приведенной формы для первого повторения эксперимента Монте-Карло таковы:
р = 2,9741 -0,0705(7;
IV = 3,9871 -0,435217.
Далее, связав полученные числовые оценки с теоретическими коэффициентами, получаем четыре уравнения:
= 2,9741; = -0,0705; = 3?9871; = _0,4352.
1 - а2Ь2 1 - а2Ь2 1 - а2Ь2 1 - а2Ь2
Подставив четвертое уравнение во второе, получаем -0,4352^ = -0,0705 и, таким образом, Ь-, = 0,1620. Далее, поскольку ^ + - Ь2 + а= А, имеем
1 - а2Ь2 1 - =------------------- :--------------------------- -.
1-а2р2
Предположим, что, оценив эти уравнения, мы получили (в абстрактной форме)
р = В] +В2и+В^х] $>=А1 +А2и-\-А3х,
где В. и А1. — числовые значения коэффициентов регрессии. Связав эти числа с их теоретическими аналогами, мы получаем шесть уравнений с шестью неизвестными:
А±2А = в т в. , в
1 - а2Ь2 1 ~ а2Ь2 ~ 1 - а21ъ
1 - а2Ь2 1 - а2Ь2 1 - а2Ъ2
Подставляя пятое уравнение во второе, имеем А2Ь2 = В2 и, таким образом, В2/А2 дает оценку для р2. Однако, подставив шестое уравнение в третье, получаем Аф2 - В3 и, таким образом, Вг/Аг также дает оценку для (32. Таким образом, мы можем получить более чем одну оценку, и модель является сверхидентифициру- емой. Это является аналогом наличия альтернативных инструментов при использовании метода ИП. Обе оценки состоятельны, и поэтому на больших выборках они обе сближаются с истинным значением, но на конечных выборках они различаются. Можно также получить и различающиеся оценки для (3,. Однако получить оценки для остальных параметров здесь невозможно, и уравнение для заработной платы неидентифицируемо.
Косвенный МНК не имеет преимуществ по сравнению с методом ИП, но обладает недостатком — большим объемом расчетов. Если уравнение неидентифицируемо с точки зрения метода И П, то оно неидентифицируемо и для КМНК; если оно однозначно идентифицируемо, то оценки по методам ИП и КМНК идентичны; если оно сверхидентифицируемо, то КМНК дает взаимно противоречивые оценки, и эта проблема решается в рамках метода ИП с помощью использования двухшагового МНК.________________________________________________________________
несостоятельны. Как можно видеть по распечатке, статистика х2, обобщающая различия в значениях коэффициентов, равна 5,88. В принципе, мы должны использовать две степени свободы, так как мы сравниваем два параметра. Критическое значение у} с двумя степенями свободы при уровне значимости 5% равно 5,99, и, следовательно, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу на заданном уровне значимости. Этот вывод является неожиданностью, поскольку применение метода Монте-Карло для модели одновременных уравнений было призвано показать, что оценивание по МНК дает несостоятельные оценки. То, что нам не удалось отвергнуть нулевую гипотезу, является примером ошибки II рода, скорей всего произошедшей из-за недостаточной величины выборки и неточности оценок.
Ключевые понятия
смещение в одновременных уравнениях
тест Дарбина-Ву-Хаусмана
уравнение в приведенной форме
уравнение в структурной форме
условие размерности для идентификации
экзогенная переменная
эндогенная переменная
Упражнения
двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) идентифицируемость косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) неидентифицируемость неявная неоднородность однозначная идентифицируемость сверхидентифицируемость |
9.4*. В таблице приведены данные (в долл. США) о потреблении на душу населения (С), совокупный среднедушевой объем формирования постоянного капитала (/) и валовой внутренний продукт на душу населения(У) для 33 странв 1998 г. Ниже приведены распечатки результатов оценивания регрессии С на У по МНК и регрессии по методу ИП с использованием I как инструмента для У. Прокомментируйте различия в результатах.
С | / | У | С | / | У | ||
Австралия | 15024 | 4749 | 19461 | Ю.Корея | 4596 | 1448 | 6829 |
Австрия | 19813 | 6787 | 26104 | Люксембург | 26400 | 9767 | 42 650 |
Бельгия | 18367 | 5174 | 24522 | Малайзия | 1683 | 873 | 3268 |
Канада | 15786 | 4017 | 20085 | Мексика | 3359 | 1056 | 4328 |
КНР | 446 | 293 | 768 | Нидерланды | 17558 | 4865 | 24086 |
Гонконг | 17067 | 7262 | 24452 | Новая Зеландия | 11236 | 2658 | 13992 |
Дания | 25199 | 6947 | 32769 | Норвегия | 23415 | 9221 | 32933 |
Финляндия | 17 991 | 4741 | 24952 | Пакистан | 389 | 79 | 463 |
Франция | 19178 | 4622 | 24587 | Филиппины | 760 | 176 | 868 |
Германия | 20058 | 5716 | 26219 | Португалия | 8579 | 2644 | 9976 |
Греция | 9991 | 2460 | 11 551 | Испания | 11255 | 3415 | 14 052 |
Исландия | 25 294 | 6706 | 30 622 | Швеция | 20687 | 4487 | 26866 |
Индия | 291 | 84 | 385 | Швейцария | 27648 | 7815 | 36 864 |
Индонезия | 351 | 216 | 613 | Таиланд | 1226 | 479 | 1997 |
Ирландия | 13 045 | 4791 | 20132 | Великобритания | 19743 | 4316 | 23 844 |
Италия | 16134 | 4075 | 20 580 | США | 26387 | 6540 | 32 377 |
Япония | 21478 | 7923 | 30124 |
egCY
|
5. Исследователь, упомянутый в упражнении 9.3, обнаруживает, что объем расходов на рекламу в предыдущем году А(-1) является одним из важных факторов в определении величины А, так что модель приобретает вид
А = а, + 0^5 + chi2 = 0.0416
Еще по теме 9.3. Оценивание с помощью инструментальных переменных:
- 8.6.Инструментальные переменные
- 11.4. Инструментальные переменные(ИП)
- 8.4. Инструментальные переменные
- 10.МОДЕЛИ ДВОИЧНОГО ВЫБОРА, МОДЕЛИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ДЛЯ ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОЦЕНИВАНИЕ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
- 5.6. Качество оценивания: коэффициент R
- 13.5. Оценивание моделей с нестационарными временными рядами
- 3.5. Качество оценивания: коэффициент R 2
- Качество оценивания: коэффициент Я
- 13.1. Инструментальное хозяйство предприятия
- Соотношение познания и оценивания: генезис способов обоснования ценности
- 6.3.4. Другие инструментальные системы
- 3.10. F-тест на качество оценивания
- 10.6. Оценивание методом максимального правдоподобия (введение)
- 11. ОЦЕНИВАНИЕ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
- 9.ОЦЕНИВАНИЕ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
- 7.2. ПРАКТИКА КОНТРОЛЛИНГА В ОАО "ХРАПУНОВСКИЙ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЙ ЗАВОД"
- Инструментальные связи
- 2.11. F-критерий для проверки качества оценивания
- 3.ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ КОНТРОЛЛИНГА