<<
>>

Несмещенность коэффициентов регрессии

Мы видели в разделе 2.3, что коэффициент наклона Ь2 может быть разло­жен как

п

г>2 = Р2+!>"/' (2-28)

/=1

где

а.= п'~Х) . (2.29)

£сХГХ)2

У=1

Из этого следует, что Ь2 является несмещенной оценкой для (32, если X нестохастичен, поскольку

I/=1 \ /=1 /=1

так как Е{и) = 0 для всех /. Мы предполагаем, что значения Z являются несто­хастическими, коэффициенты а( также являются нестохастическими, следо­вательно, E(ai Uj) = а{Е{и).

За исключением того случая, когда случайные факторы в п наблюдениях i точности «прерывают» друг друга, что может произойти лишь при их совпаде­нии, Ь2 будет отличаться от ß2 для каждой конкретной выборки, однако, с уче­том (2.30), не будет систематической ошибки, завышающей или занижаюше» оценку. То же самое справедливо и для коэффициента Ь{ как несмещенное оценки для ßj. Оставим как упражнение.

(2.з:
(2.32'
(2.3?і (2.34i

Важно понимать, что оценки, полученные методом наименьших квадра тов, являются не единственными несмещенными оценками. Мы приведем * другой пример. Сохраним предположение о том, что истинная связь между • и X определяется из уравнения

^ = ßi + ß2*/ + w/-

Если некто, кто никогда не слышал о регрессионном анализе, увидит диа грамму рассеяния наблюдений из выборки, у него может возникнуть желание получить оценку коэффициента наклона путем простого объединения перве го и последнего наблюдений и деления приращения высоты на расстояни: между ними, как это показано на рис. 2.3. Оценка Ь2 будет тогда выражатьо следующим образом:

X „ — Х\

Мы исследуем, является ли эта оценка смещенной или несмещенной. При меняя (2.31) к первому и последнему наблюдениям, получаем

F1 = ß1 + ß2J1 + «1

X^ Хп

Рисунок 2.3. «Наивное» оценивание Ь2

(2.35)
(2.36)
Следовательно,

Х„ — X.

Итак, мы разложили эту «наивную» оценку на две составляющие: истин­ное значение и ошибку. Это разложение аналогично тому, которое было про­делано для оценки, полученной методом наименьших квадратов в разделе 2.3, но сам показатель ошибки другой. Ожидаемое значение оценки выражается как

Е(Ь2)=Еф2)+Е -^г ^г+^г-уЕ^-и,),

(2.37)

л и — л| л „ — л,

так как (3 2 является константой, аХ^и Хп — нестохастические. Если предпо­сылка (А.З) выполнена, то

Е(ип]) = Е(ип)-Е(и]) = 0.

Следовательно, несмотря на то, что оценка выглядит «наивной», она явля­ется несмещенной.

Это, конечно, не единственная оценка, помимо той, которая получена ме­тодом наименьших квадратов и является несмещенной. Можно получить та­ковую, объединив две любые точки из выборки. Существует также бесконеч­ное количество способов, не являющихся столь «наивными».

Легко понять интуитивно, что мы не предпочли бы такой «наивный» метод получения оценок, как (2.32), методу наименьших квадратов. В то время как МНК учитывает каждое наблюдение, наш метод берет в расчет только первое и последнее, теряя большую часть информации о выборке. «Наивная» оценка будет чувствительна к значению случайного члена и в этих двух наблюдениях, тогда как оценка, полученная методом наименьших квадратов, позволяет комбинировать все значения случайного члена и использует то преимущество, что в некоторой степени они компенсируют друг друга. Точнее, можно пока­зать, что теоретическая дисперсия «наивной» оценки больше, чем в случае МНК, и, следовательно, «наивная» оценка менее эффективна. Мы обсуждим условия эффективности в разделе 2.7.

йгсажнения

1-1 \ Используя разложение, выполненное в упражнении 2.1, покажите, что Ьх являет­ся несмещенной оценкой для коэффициента Р ,.

83

1 Исследователь правильно полагает, что связь между двумя переменными опре­деляется X и У определяется уравнением

Зная, что выборка состоит из п наблюдений, исследователь оценивает р2, посчи­тав среднее значение У и разделив его на среднее значение X. Выясните свойства такой оценки. Как бы повлияло на ваш ответ предположение о том, что р, = О?

-те в эконометрику

2.4*. Исследователь правильно полагает, что связь между двумя переменными Хи У определяется уравнением

Имея выборку наблюдений У, Хи третьей переменной Z(кoтopaя не влияет на Л. исследователь оценивает р2 как

/=1

яъ-чъ-*)

/=1

Покажите, что эта оценка является несмещенной.

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме Несмещенность коэффициентов регрессии:

  1. 3.4. Несмещенность коэффициентов регрессии
  2. 3.1. Случайные составляющие коэффициентов регрессии
  3. 3.3. Свойства коэффициентов множественной регрессии
  4. 5.4. Свойства коэффициентов множественной регрессии
  5. 2.3. Случайные составляющие коэффициентов регрессии
  6. 8.2. Свойства оценок коэффициентов регрессии по МНК в случае конечной выборки
  7. 3.5. Точность коэффициентов регрессии
  8. 3.2. Вывод и интерпретация коэффициентов множественной регрессии
  9. 2.6. Точность коэффициентов регрессии
  10. 5.2. Вывод и интерпретация коэффициентов множественной регрессии
  11. 3. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕ