<<
>>

4.2. Логарифмические преобразования

Рассмотрим далее функции вида (4.4), которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным:

у = ахР. (4.4)

Мы обнаружим, что соотношение (4.4) может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов, безусловно, знакомых вам из кур­са математики.

Возможно, при изучении этого курса вам казалось, что логарифмы имеют чисто академический интерес и неприменимы на практике. В эконо­метрике, однако, они просто необходимы, поэтому если вы не уверены в своих знаниях, то вам следует их освежить в памяти. Далее приведена таблица основ­ных свойств логарифмов, которая вам поможет. Если вы не имеете достаточно­го опыта работы с логарифмами, не волнуйтесь, вы легко приобретете нужные навыки.

Применение логарифмов

Основные правила гласят:

1. Если у = xz, то log у = log х + log z-

2. Если у = хД, то log у = log х — log z.

3. Если у = хп, то log у=п log х.

Эти правила могут применяться вместе для преобразования более сложных выражений.

Например, возьмем уравнение (4.4). Еслиу = ахР, то по правилу Г.

log у = log а + log хР и по правилу 3 = log ос + р log х.

До сих пор мы не определили, по какому основанию берем лога­рифм — е или 10. В данной работе мы будем использовать в качестве основания число е, т. е. натуральные логарифмы. Теперь это считает­ся стандартом в эконометрике. Некоторые обозначают натуральный логарифм с помощью символа In, а не log, однако в этом уже нет необходимости. Никто больше не использует логарифмы по основа­нию 10. Таблицы десятичных логарифмов широко использовались для умножения или деления больших чисел до начала 1970-х гг. Однако с изобретением карманных калькуляторов они стали не нужны.

Для натуральных логарифмов справедливо еще одно правило:

4. Если у = ех, то log у = х.

Выражение ех\ которое часто записывается как ехр (х), известно так­же как антилогарифм х.[11] Можно сказать, что log (е*) является лога­рифмом антилогарифма х, и так как логарифм и антилогарифм вза­имно уничтожаются, неудивительно, что log (е*) превращается про­сто в х.

Используя приведенные выше правила, уравнение (4.4) можно преобразо­вать в линейное путем логарифмирования его обеих частей. Если соотношение (4.4) верно, то

logy = logocxP = loga + р logx. (4.12)

Если обозначить у'= log у, z = log х и a'= log а, то уравнение (4.12) можно переписать в следующем виде:

/=а'+рг. (4.13)

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычис- лиму'и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных зна­чений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статисти­ческой программы. Затем оценим регрессионную зависимость>>'от z. Коэффи­циент при z будет представлять собой непосредственно оценку р. Постоянный член является оценкой а', т. е. log а. Для получения оценки а необходимо взять антилогарифм, т. е. вычислить ехр (а').

Моделирование эластичности

Функции вида (4.4) часто встречаются в экономике. Когда вы ви­дите такую функцию, то можете сразу сказать, что эластичность у по х равна р. Например, в разделе 4.1 отмечалось, что это общая форма кривых Энгеля, у представляет собой спрос на товар, х — доход/а Р — эластичность спроса по доходу.

Докажем указанное свойство эластичности. Независимо от матема­тической связи между у их или определения величин у их, эластич­ность^ пох рассчитывается как относительное изменение^ на едини­цу относительного изменения х:

~ йу / у

Эластичность =-:— ах / х

Таким образом, если, например, у — это спрос, ах — доход, то дан­ное выражение определяет эластичность спроса на данный товар по доходу.

Выражение для эластичности можно переписать в следующем виде: (с1у/с1х)/(у/х). Для примера с функцией спроса его можно представить как отношение предельной склонности к потреблению товара к сред­ней склонности к потреблению данного товара.

Если соотношение между у их имеет вид (4.4), то

^ ёу / (1у Ву / х 0

Эластичность =----- ;-- =---- ;— = р.

у / X у / X

Таким образом, например, если имеется кривая Энгеля вида

у = 0,01х0,30,

то это означает, что эластичность спроса по доходу равна 0,3. Если вы хотите объяснить это кому-нибудь, кто не знаком с экономической терминологией, то наиболее просто будет сказать, что изменение х (дохода) на 1% вызывает изменение у (спроса) на 0,3%.

Функция вида (4.4) может также применяться к кривым спроса, где у — это спрос на товар, х — цена товара, ар — это эластичность спроса по цене. (На практике обычно такая функция спроса объеди­няется с кривой Энгеля, в результате чего получается зависимость спроса одновременно от дохода и цены. Мы вернемся к этому вопро­су, когда будем рассматривать модели множественной регрессии в гла­ве 5.)

Что произойдет, если математическая связь между у их не соответ­ствует уравнению (4.4)? Что можно в этом случае сказать об эластич­ности? Это можно понять на основе базовых принципов. Предположим, имеется обычное линейное уравнение:

у = а + рх.

В данном случае йу/йх равно Р; следовательно, эластичность опре­деляется следующим образом:

4у/ах р рх

Эластичность =----- ;-- =---- ;— =-- •

у / X у / X у

В этом случае значение эластичности в любой точке будет зависеть не только от значения р, но также и от значений у и х в данной точке.

Таким образом, два основных достоинства математической формы (4.4) состоят в следующем:

1. Если эластичность^ похпостоянна, то это единственная матема­тическая форма, которая обладает данным свойством. Это, безуслов­но, означает, что если вы считаете, что эластичность не постоянна, то данное соотношение не следует моделировать с помощью уравне­ния (4.4).

2. Вы можете получить прямую регрессионную оценку эластичнос­ти путем оценивания зависимости 1оёу от 1о£х. Эта оценка, конечно, будет достоверна только в том случае, если зависимость определяется уравнением (4.4). Если зависимость линейна, то правильная процеду­ра будет состоять в оценивании линейной регрессии между у и х и последующем вычислении Рх/у.

Показательные функции

Показательные (или экспоненциальные) функции — это функции вида:

у = (4.14)

Наиболее общим их приложением является случай, когда предполагается, что переменная у имеет постоянный темп прироста во времени, в этом случае вме­сто х обычно используется время (г), а вместо Р — постоянный темп прироста (г):

у = ае". (4.15)

Моделирование экспоненциальных временных трендов

Если зависимость у от? задана уравнением вида (4.15), то абсолютный прирост у за единицу времени (

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — M.: ИНФРА-М, — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме 4.2. Логарифмические преобразования:

  1. 4.2. Логарифмические преобразовани
  2. РЕЙСШИНА ПРОТИВ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКИ
  3. 4.5. Сравнение линейной и логарифмической моделей
  4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
  5. 4.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАННЫХ
  6. 1. У ИСТОКОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
  7. 3.5.4. Преобразование акционерного общества
  8. 25. Преобразование хозяйственных товариществ и обществ (корпораций)
  9. 8.4. ТЕСТ «МЕНЕДЖЕР И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ»
  10. 9.12. ТЕСТ «МЕНЕДЖЕР И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ»
  11. § 2. Социально-экономические преобразования
  12. Первые преобразования.
  13. Реформы и преобразования.
  14. Преобразования в армии.
  15. 16.2.1. Слияние, присоединение, преобразование
  16. 19.2. Технологии преобразования предпринимательской фирмы
  17. 5. Пути преобразования производства
  18. § 5.12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТОЙ РЕНТЫ В ОБЩУЮ РЕНТУ