4.2. Логарифмические преобразования
у = ахР. (4.4)
Мы обнаружим, что соотношение (4.4) может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов, безусловно, знакомых вам из курса математики.
Возможно, при изучении этого курса вам казалось, что логарифмы имеют чисто академический интерес и неприменимы на практике. В эконометрике, однако, они просто необходимы, поэтому если вы не уверены в своих знаниях, то вам следует их освежить в памяти. Далее приведена таблица основных свойств логарифмов, которая вам поможет. Если вы не имеете достаточного опыта работы с логарифмами, не волнуйтесь, вы легко приобретете нужные навыки.Применение логарифмов
Основные правила гласят:
1. Если у = xz, то log у = log х + log z-
2. Если у = хД, то log у = log х — log z.
3. Если у = хп, то log у=п log х.
Эти правила могут применяться вместе для преобразования более сложных выражений.
Например, возьмем уравнение (4.4). Еслиу = ахР, то по правилу Г.log у = log а + log хР и по правилу 3 = log ос + р log х.
До сих пор мы не определили, по какому основанию берем логарифм — е или 10. В данной работе мы будем использовать в качестве основания число е, т. е. натуральные логарифмы. Теперь это считается стандартом в эконометрике. Некоторые обозначают натуральный логарифм с помощью символа In, а не log, однако в этом уже нет необходимости. Никто больше не использует логарифмы по основанию 10. Таблицы десятичных логарифмов широко использовались для умножения или деления больших чисел до начала 1970-х гг. Однако с изобретением карманных калькуляторов они стали не нужны.
Для натуральных логарифмов справедливо еще одно правило:
4. Если у = ех, то log у = х.
Выражение ех\ которое часто записывается как ехр (х), известно также как антилогарифм х.[11] Можно сказать, что log (е*) является логарифмом антилогарифма х, и так как логарифм и антилогарифм взаимно уничтожаются, неудивительно, что log (е*) превращается просто в х.
Используя приведенные выше правила, уравнение (4.4) можно преобразовать в линейное путем логарифмирования его обеих частей. Если соотношение (4.4) верно, то
logy = logocxP = loga + р logx. (4.12)
Если обозначить у'= log у, z = log х и a'= log а, то уравнение (4.12) можно переписать в следующем виде:
/=а'+рг. (4.13)
Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычис- лиму'и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статистической программы. Затем оценим регрессионную зависимость>>'от z. Коэффициент при z будет представлять собой непосредственно оценку р. Постоянный член является оценкой а', т. е. log а. Для получения оценки а необходимо взять антилогарифм, т. е. вычислить ехр (а').
Моделирование эластичности
Функции вида (4.4) часто встречаются в экономике. Когда вы видите такую функцию, то можете сразу сказать, что эластичность у по х равна р. Например, в разделе 4.1 отмечалось, что это общая форма кривых Энгеля, у представляет собой спрос на товар, х — доход/а Р — эластичность спроса по доходу.
Докажем указанное свойство эластичности. Независимо от математической связи между у их или определения величин у их, эластичность^ пох рассчитывается как относительное изменение^ на единицу относительного изменения х:
~ йу / у
Эластичность =-:— ах / х
Таким образом, если, например, у — это спрос, ах — доход, то данное выражение определяет эластичность спроса на данный товар по доходу.
Выражение для эластичности можно переписать в следующем виде: (с1у/с1х)/(у/х). Для примера с функцией спроса его можно представить как отношение предельной склонности к потреблению товара к средней склонности к потреблению данного товара.
Если соотношение между у их имеет вид (4.4), то
^ ёу / (1у Ву / х 0
Эластичность =----- ;-- =---- ;— = р.
у / X у / X
Таким образом, например, если имеется кривая Энгеля вида
у = 0,01х0,30,
то это означает, что эластичность спроса по доходу равна 0,3. Если вы хотите объяснить это кому-нибудь, кто не знаком с экономической терминологией, то наиболее просто будет сказать, что изменение х (дохода) на 1% вызывает изменение у (спроса) на 0,3%.
Функция вида (4.4) может также применяться к кривым спроса, где у — это спрос на товар, х — цена товара, ар — это эластичность спроса по цене. (На практике обычно такая функция спроса объединяется с кривой Энгеля, в результате чего получается зависимость спроса одновременно от дохода и цены. Мы вернемся к этому вопросу, когда будем рассматривать модели множественной регрессии в главе 5.)
Что произойдет, если математическая связь между у их не соответствует уравнению (4.4)? Что можно в этом случае сказать об эластичности? Это можно понять на основе базовых принципов. Предположим, имеется обычное линейное уравнение:
у = а + рх.
В данном случае йу/йх равно Р; следовательно, эластичность определяется следующим образом:
4у/ах р рх
Эластичность =----- ;-- =---- ;— =-- •
у / X у / X у
В этом случае значение эластичности в любой точке будет зависеть не только от значения р, но также и от значений у и х в данной точке.
Таким образом, два основных достоинства математической формы (4.4) состоят в следующем:
1. Если эластичность^ похпостоянна, то это единственная математическая форма, которая обладает данным свойством. Это, безусловно, означает, что если вы считаете, что эластичность не постоянна, то данное соотношение не следует моделировать с помощью уравнения (4.4).
2. Вы можете получить прямую регрессионную оценку эластичности путем оценивания зависимости 1оёу от 1о£х. Эта оценка, конечно, будет достоверна только в том случае, если зависимость определяется уравнением (4.4). Если зависимость линейна, то правильная процедура будет состоять в оценивании линейной регрессии между у и х и последующем вычислении Рх/у.
Показательные функции
Показательные (или экспоненциальные) функции — это функции вида:
у = (4.14)
Наиболее общим их приложением является случай, когда предполагается, что переменная у имеет постоянный темп прироста во времени, в этом случае вместо х обычно используется время (г), а вместо Р — постоянный темп прироста (г):
у = ае". (4.15)
Моделирование экспоненциальных временных трендов
Если зависимость у от? задана уравнением вида (4.15), то абсолютный прирост у за единицу времени (
Еще по теме 4.2. Логарифмические преобразования:
- 4.2. Логарифмические преобразовани
- РЕЙСШИНА ПРОТИВ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКИ
- 4.5. Сравнение линейной и логарифмической моделей
- ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
- 4.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАННЫХ
- 1. У ИСТОКОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
- 3.5.4. Преобразование акционерного общества
- 25. Преобразование хозяйственных товариществ и обществ (корпораций)
- 8.4. ТЕСТ «МЕНЕДЖЕР И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ»
- 9.12. ТЕСТ «МЕНЕДЖЕР И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ»
- § 2. Социально-экономические преобразования
- Первые преобразования.
- Реформы и преобразования.
- Преобразования в армии.
- 16.2.1. Слияние, присоединение, преобразование
- 19.2. Технологии преобразования предпринимательской фирмы
- 5. Пути преобразования производства
- § 5.12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТОЙ РЕНТЫ В ОБЩУЮ РЕНТУ