<<
>>

4.2. Логарифмические преобразовани

(4-і

Рассмотрим далее функции вида (4.3), которые являются нелинейные как по параметрам, так и по переменным:

7 =

Когда вы видите такую функцию, вы можете сразу сказать, что эластич­ность Кпо ^постоянна и равна (32.

Это можно легко продемонстрировать. Нг зависимо от математической формулы связи между У и X или определен*» величин У и X, эластичность УпоХ определяется как относительное измен: ние У на единицу относительного изменения X.

сІУ/У сІХ/Х
(4.і:

Эластичность =

Таким образом, если, например, У — это спрос, а X— доход, то данное вь ражение определяет эластичность спроса на данный товар по доходу.

Выражение для эластичности можно переписать в следующем виде:

сІУ/с1Х У/Х
(4.1?.

Эластичность =

Для примера с функцией спроса его можно представить как отношени- предельной склонности к потреблению товара к средней склонности к ис­треблению данного товара.

(4.1-

Если соотношение между У и X имеет вид (4.11),

ІГМ^-Ь*

Следовательно,

Эластичность = ^ = ^ = р2.

(4.15)

Таким образом, например, если имеется кривая Энгеля вида

Г=0,01Х0'3, (4.16)

то это означает, что эластичность спроса по доходу равна 0,3. Если вы хотите объяснить это кому-нибудь, кто не знаком с экономической терминологией, то наиболее просто будет сказать, что изменение X (дохода) на 1% вызывает изменение 7 (спроса) на 0,3%.

Функция описанного типа может быть преобразована в линейную путем использования логарифмического преобразования. Логарифмы, безусловно, знакомы вам из курса математики. Возможно, при изучении этого курса вам казалось, что логарифмы имеют чисто академический интерес и не примени­мы на практике. Это, однако, не так. В эконометрике они просто необходимы, поэтому, если вы не уверены в своих знаниях, то вам следует их освежить. Описание основных свойств логарифмов приведено во вставке 4.1.

гавка 4.1. Применение логарифмов

Основные правила гласят:

1) если 7= XZ, log 7= logX+ log Z;

2) если Y= X/Z; log 7= log X- tog Z;

3) если Y~Xn, log 7= n\o%X.

Эти правила могут совместно применяться для преобразования более слож­ных выражений. Например, возьмем уравнение (4.11):

Если 7 = ^x4 то

log Y - log pj + logXp2 по правилу 1, = log р, + р2 log X по правилу 3.

До сих пор мы не определили, по какому основанию берем логарифмы - е или 10. В данной работе мы будем использовать в качестве основания число е, т.е. на­туральные логарифмы. Теперь это считается стандартом в эконометрике. Некото­рые обозначают натуральный логарифм с помощью символа In, а не log, однако в этом уже нет необходимости. Никто больше не использует логарифмы по основа­нию 10. Таблицы десятичных логарифмов широко использовались для умноже­ния или деления больших чисел до начала 1970-х гг. Однако с изобретением кар­манных калькуляторов они стали не нужны. Для натуральных логарифмов спра­ведливо еще одно правило:

4) если Y- е* то log Y- X.

Выражение которое часто записывается как ехр(Х), известно также как ан­тилогарифм X.

Можно сказать, что log(e^) является логарифмом антилогарифма X и так как логарифм и антилогарифм взаимно уничтожаются, неудивительно, тто log(e*) превращается просто в X. По правилу 2, log (е*)—X log е — X, так как bog е по основанию е-это единица.

Во вставке показано, что уравнение (4.11) можно преобразовать в лине* ное как

log Y= log р, + р2 log X. (4. Г

Такая модель называется логарифмической или лог-линейной, что подчер­кивает тот факт, что она линейна относительно логарифмов. Если обозначив Y = log Y, Z- log X, и pj = log р,, то уравнение можно переписать в следуют?* виде:

y = p; + p2z. (4.11

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вї» числим Y и Z для каждого наблюдения путем логарифмирования исходны значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся р: грессионной программы. Затем оценим регрессию Ґ на Z. Коэффициент грі Zбудет представлять собой непосредственно оценку Р2. Постоянный член яъ ляется оценкой pj , т.е. log рг Для получения оценки р, необходимо взять а> тилогарифм, т.е. вычислить exp(pj).

Пример: кривые Энгеля

На рис. 4.4 показаны точки зависимости расходов домохозяйств на прс- дукты питания, потребляемые дома (ЕОНО), от их совокупных годовых расхо­дов. Оба показателя для США в 1995 г. (в долларах) взяты из данных «Обзор» потребительских расходов» для 869 домохозяйств, составляющих репрезенте тивную выборку.

Рисунок 4.4. Регрессионная зависимость расходов на продукты питания, потребленные до»*с (FDHO), от общих расходов домохозяйств (ЕХР)

В анализе данных о расходах домохозяйств принято связывать расходы от­дельных видов с общими их расходами, а не с доходами, поскольку данные о доходах содержат больше ошибок. Распечатки результатов для линейной и ло­гарифмической регрессии показаны в табл.

4.3 и 4.4.

Линейная зависимость показывает, что из каждого дополнительного дол­лара дохода 5,3 цента затрачивались на продукты питания, потребленные дома. Интерпретация свободного члена здесь затруднительна, поскольку бук­вально он означает, что даже если совокупные расходы равнялись бы нулю, то на продукты питания, потребленные дома, было бы потрачено 1916 долл.

Логарифмическая зависимость, представленная на рис. 4.5, показывает, что эластичность расходов на продукты питания, потребленные дома, по от­ношению к общим расходам домохозяйства, равна 0,48. Правдоподобна ли такая цифра? Да, поскольку продукты питания, потребленные дома, являются скорее предметом первой необходимости, а не предметом роскоши, и поэтому можно ожидать получить здесь эластичность, меньшую единицы. Свободный член здесь не имеет экономического смысла. На рис. 4.6 логарифмическая ре­грессия добавлена к первоначальному графику. В то время как в средней части диапазона наблюдений большой разницы между линиями регрессии нет, ло-

Таблица 4.3
Ч)ИО ЕХР
kij-ce SS df MS Number of obs = F( 1,867) Prob > F

R-squared = Adj R-squared = Root MSE

869

381.47

0.0000

0.3055

0.3047

1549.5

Model =esidual 915843574 2.0815e+09 1

867

915843574 2400831.16
Total 2.9974e+09 868 3453184.55
FDHO Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
EXP .0528427 .0027055 19.531 0.000 .0475325 .0581529
_cons 1916.143 96.54591 19.847 0.000 1726.652 2105.634
Таблица 4.4
L _3rDHO = In(FDHO) ,-i -j£XP = In(EXP) -3FDHO LGEXP
^ Ял-гсе SS df MS Number of obs = F( 1,866) Prob > F

R-squared = Adj R-squared = Root MSE

868 396.06 0.0000 0.3138 0.3130 .46167
Vodel ^»»SKJual 84.4161692 184.579612 1

866

84.4161692 .213140429
Total 268.995781 867 .310260416
г ^jrDHO Coef. Std. Err. t p>ltl [95% Conf. Interval]
J3EXP .4800417 .0241212 19.901 0.000 .4326988 .5273846
_cons 3.166271 .244297 12.961 0.000 2.686787 3.645754
163

гарифмическая регрессия, очевидно, дает гораздо лучшие оценки для очг?і- низких или очень высоких уровней расходов домохозяйств.

Полулогарифмические модели

Еще одна широко распространенная функциональная форма представ-г*, уравнением (4.19):

LGFDHO
LGEXF
Рисунок 4.5. Логарифмическая регрессионная зависимость расходов на продукты питан*« потребленные дома, от общих расходов домохозяйств

О 20 000 40 000 60 000 80 000 100 ООО 120 ООО 140 ООО ЕХР

Рисунок 4.6. Линейная и логарифмическая регрессионные зависимости расходов на продул» питания, потребленные дома, от общих расходов домохозяйств

Г = (4.

Здесь р2 можно проинтерпретировать как относительное изменение У в расчете на единицу (абсолютного) изменения X. Это снова легко продемон­стрировать. Дифференцируя, получаем

^ = Р ,02^=р2Г. (4.20)

Следовательно,

= р2. (4.21)

На практике более естественно говорить не об относительном, а о про­центном изменении Y в расчете на единицу изменения I, и в этом случае оценку коэффициента р2 нужно умножить на 100. Данная функция может быть трансформирована в модель, линейную по параметрам, путем логариф­мирования обеих частей:

logy = \og^x = logp, + \og№ =

= logp, + p2* log e = log p! + P2 ЛГ. (4.22)

Заметим, что только левая часть является логарифмической по перемен­ным, и поэтому сама модель (4.22) названа полулогарифмической.

( al

(4.23)

V ' z 2!

Интерпретация коэффициента р2 как относительного изменения Yна еди­ницу изменения Jf правомерна лишь для малых р2. Если р2 велико, то интер­претация становится несколько более сложной. Предположим, что перемен­ная Гсвязана с переменной X соотношением (4.19) и что Xувеличивается на одну единицу, до величины X'. Тогда Y', новое значение переменной Y, запи­сывается как

Г = р/^' = = ft**'V' = Ye*> = Y {1 + р2 + Й +

Таким образом, пропорция изменения У в расчете на единицу изменения X з действительности превышает р2. Однако если р2 мало (например, меньше, чем 0,1), то р2 и последующие члены будут очень малы, и ими можно пренеб­речь. В этом случае правая часть уравнения упрощается до У(1 + Р2), и перво­начальная предельная интерпретация р2 остается применимой.

ер: полулогарифмическая функция заработка

При оценивании функций заработка полулогарифмические модели обыч­но считаются более предпочтительными, чем линейные. Рассмотрим вначале наиболее простой вариант такой модели:

EARNINGS = (4.24)

где EARNINGS — величина часового заработка (в долларах); S — число за шенных лет обучения. После логарифмирования, модель принимает вид:

lgearn +

где LGEARN — натуральный логарифм переменной EARNINGS', |3{ - л рифм р,.

Регрессия была оценена на основе набора данных EAEF21 (результаты четов представлены в табл. 4.5). Коэффициент при S показывает, что кг дополнительный год обучения ведет, в первом приближении, к относител- му росту заработка на 0,110, т.е. на 11,0%. Строго говоря, целый дополнит НЫЙ ГОД обучения не является предельной величиной, И более аккуратно 32 вычислить е0,110, что равно 1,116. Таким образом, более аккуратная интер.т тация результата показывает, что каждый дополнительный год обучения ве к росту заработка на 11,6%.

Диаграмма рассеяния для полулогарифмической регрессии показана рис. 4.7. На рис. 4.8 она для сравнения показана вместе с графиком линей: регрессии с непреобразованными переменными. В целом две линии рефг. сии не сильно различаются, но преимущество полулогарифмической спе фикации заключается в том, что она не предсказывает отрицательного ботка индивидам с низким образовательным уровнем и показывает возра ние приростов заработка в расчете на один дополнительный год обучения повышении образовательного уровня.

Упражнения

Замечание. Для всех этих упражнений вам потребуется провести анализ прие мости оцененных коэффициентов.

4.1. Загрузите набор данных CES, приведенный на нашей странице в Интер. (см. Приложение В), и оцените линейную и логарифмическую регрессии для вара на ЕХР (общие расходы домохозяйств), исключив наблюдения с нулевь: расходами на ваш товар. Проинтерпретируйте результаты оценки регрессии выполните соответствующие тесты.

Таблица 4.5

reg LGEARN S

Source SS df MS Number of obs = 540

......... -................................................................................. F(1, 538) = 140.05

Model 38.5643833 1 38.5643833 Prob > F = 0 0000

Residual 148.14326 538 .275359219 R-squared = 0.2065

............................................................................................. Adj R-squared = 0.2051

Total 186.707643 539 .34639637 Root MSE = .52475

LGEARN Coef. Std. Err. t P>|t| [95%Conf. IntervaJ;

. S .1096934 .0092691 11.83 0.000 .0914853 .12790ч

(4

cons 1.292241 .1287252 10.04 0.000 1.039376 1.5451Г

Рисунок 4.7. Полулогарифмическая регрессионная зависимость часового заработка от продолжительности обучения

»»сунок 4.8. Линейная и полулогарифмическая регрессионные зависимости часового заработка от продолжительности обучения

, Вновь оцените логарифмическую регрессию из упражнения 4.1, добавив лога­рифм размера домохозяйства как дополнительную объясняющую переменную. Проинтерпретируйте результат и выполните соответствующие тесты.

Число завершенных лет обучения

і Каково соотношение между весом и ростом респондента? По набору данных из £4£7Г оцените регрессию логарифма (натурального) переменной \УЕЮНТЪ5 на

логарифм HEIGHT. Проинтерпретируйте результат и выполните соответстг ющие тесты.

4.4. По набору данных из EAEF оцените регрессионную зависимость логарифма * личины заработка от S и ЕХР. Проинтерпретируйте результат и выполните со ^ ветствующие тесты.

4.5*. Загрузите с нашей страницы в Интернете (см. Приложение В) данные ОЭС; і темпах прироста численности занятых и, воспользовавшись данными о темп* прироста ВВП из упражнения 1.1, постройте диаграмму рассеяния. Решите, к» ляется ли здесь нелинейная спецификация предпочтительной по отношениі . линейной.

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме 4.2. Логарифмические преобразовани:

  1. 4.2. Логарифмические преобразования
  2. РЕЙСШИНА ПРОТИВ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКИ
  3. 4.5. Сравнение линейной и логарифмической моделей
  4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
  5. 4.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАННЫХ
  6. 1. У ИСТОКОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
  7. 3.5.4. Преобразование акционерного общества
  8. 25. Преобразование хозяйственных товариществ и обществ (корпораций)
  9. 8.4. ТЕСТ «МЕНЕДЖЕР И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ»
  10. 9.12. ТЕСТ «МЕНЕДЖЕР И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ»
  11. § 2. Социально-экономические преобразования
  12. Первые преобразования.