<<
>>

1.8. Коэффициент корреляции

В этой главе большое внимание уделено ковариации. Это объясняется тем, что она весьма удобна с математической точки зрения, а вовсе не тем, что ковариация является особенно хорошим измерителем взаимосвязи между вели­чинами.
Мы рассмотрим ее недостатки в разделе 1.9. Более точной мерой зави­симости является тесно связанный с ней коэффициент корреляции.

Подобно дисперсии и ковариации, коэффициент корреляции имеет две формы — теоретическую и выборочную. Теоретический коэффициент корреля­ции традиционно обозначается греческой буквой р, которая произносится как «ро» и соответствует латинской «г». Для переменных х и у этот коэффициент определяется следующим образом:

Рх,у =
(1.23)

рор. соу(х, у) __ ох

рор. уаг(х)рор. уаг(у) ^^

Если х и у независимы, то р равно нулю, так как равна нулю теоретическая ковариация.

Если между переменными существует положительная зависимость, то сху, а следовательно, и р будут положительными. Если существует строгая положительная линейная зависимость, то р примет максимальное значение, равное 1. Аналогичным образом при отрицательной зависимости рху будет от­рицательным с минимальным значением — 1.
Соу(х, у)

(1.25)

Выборочный коэффициент корреляции г определяется путем замены теорети­ческих дисперсий и ковариации в выражении (1.23) на их несмещенные оцен­ки.

Мы показали, что такие оценки могут быть получены умножением выбо­рочных дисперсий и ковариации на п/(п - 1). Следовательно,

(1.24)

Множители п/(п — 1) сокращаются, поэтому можно определить выборочную корреляцию как

Соу(х, у)

7Уаг(х)Уаг(у)'

Подобно величине р, г имеет максимальное значение, равное единице, ко­торое получается при строгой линейной положительной зависимости между выборочными значениями х и у (когда на диаграмме рассеяния все точки на­ходятся точно на восходящей прямой линии). Аналогичным образом г при­нимает минимальное значение — 1, когда существует линейная отрицательная зависимость (точки лежат точно на нисходящей прямой линии). Величина г = О показывает, что зависимость между наблюдениями хи^в выборке отсутству­ет. Разумеется, тот факт, что г=0, необязательно означает, что р = 0, и на­оборот.

Иллюстрация

Для иллюстрации вычисления выборочного коэффициента корреляции мы используем пример о спросе на бензин из раздела 1.1. Данные представлены в табл. 1.1 и показаны на рис. 1.1. Мы уже вычислили Соу (р, у) (см. табл. 1.2), ко­торая составляет -16,24, поэтому нам теперь необходимы только Уаг (р) и Уаг (у) (см. табл. 1.7).

В последних двух колонках табл. 1.7 можно найти, что Уаг (р) составляет 888,58 и Уаг (у) равна 1,33. Следовательно,

г =
(1.26)

-16,24 -16,24

= -0,47.

у/888,58 х 1,33 34,38

Таблица 1.7
Наблюдение Р У (Р-Р) (У-у) (Р-Р)2 (у-у)2
1 103,5 26,2 -39,86 -0,07 1588,82 0,01
2 127,0 24,8 -16,36 -1,47 267,65 2,16
3 126,0 25,6 -17,36 -0,67 301,37 0,45
4 124,8 26,8 -18,56 0,53 344,47 0,28
5 124,7 27,7 -18,66 1,43 348,20 2,05
6 121,6 28,3 -21,76 2,03 473,50 4,12
7 149,7 27,4 6,34 1,13 40,20 1,28
8 188,8 25,1 45,44 -1,17 2064,79 1,37
9 193,6 25,2 50,24 -1,07 2524,06 1,15
10 173,9 25,6 30,54 -0,67 932,69 0,45
Сумма Среднее 1433,6 143,36 262,7 26,27 8885,75 888,58 13,30 1,33

Упражнения

1.3. На с.

50 представлены данные о темпах прироста численности занятых —ей темпах прироста производительности труда — р (выпуска продукции за один человеко-час) для промышленности 12 стран за период с 1953—1954 по 1963—1964 гг. (годовые экспоненциальные темпы прироста). Постройте диаг­рамму рассеяния и вычислите выборочный коэффициент корреляции между ей р. [Рекомендуется сделать его, используя уравнения (1.8) и (1.16) для вы­борочной ковариации и дисперсии, и сохранить вычисления, поскольку это сэкономит вам время при рассмотрении другого примера, представленного в главе 2.] Объясните полученные результаты и прокомментируйте возможные причины положительной корреляции между двумя переменными.

1.4. Пусть наблюдения двух случайных переменных х и у находятся на пря­мой линии:

у = а + Ьх.

Покажите, что Соу (х, у) = Ъ Уаг (х) и что Уаг 0>) = Ь1 Уаг (х), а следовательно, выборочный коэффициент корреляции равен 1, если наклон линии положи­телен, и —1, если этот наклон отрицателен.

1.5. Пусть переменная у определяется строгой линейной зависимостью:

у = а + Ьх,

и предположим, что для х, у и третьей переменной I получена выборка на­блюдений. Покажите, что если коэффициент Ъ положителен, то выборочный коэффициент корреляции для у и £ должен быть таким же, как и для х и г.

Годовые темпы прироста продукции (%)
Занятость Производительное ть
Австрия 2,0 4,2
Бельгия 1,5 3,9
Канада 2,3 1,3
Дания 2,5 3,2
Франция 1,9 3,8
Италия 4,4 4,2
Япония 5,8 7,8
Нидерланды 1,9 4,1
Норвегия 0,5 4,4
ФРГ 2,7 4,5
Великобритания 0,6 2,8
США 0,8 2,6
Источник: Kaldor, 1966.

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — M.: ИНФРА-М, — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме 1.8. Коэффициент корреляции:

  1. § 16.3. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА. КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ
  2. 1.10. Коэффициент частной корреляции
  3. § 16.7.1. Испытание гипотезы для оценки линейности связи на основе оценки коэффициента корреляции в генеральной совокупности
  4. Корреляция между индексами
  5. Корреляция между проектами
  6. Корреляция каноническая
  7. 37. Метод корреляции трендов
  8. Корреляция
  9. КОВАРИАЦИЯ, ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
  10. 1.3. Основные финансовые коэффициенты отчетности
  11. 3.5. Качество оценивания: коэффициент R 2
  12. 5.6. Качество оценивания: коэффициент R
  13. Коэффициент рентабельности
  14. Коэффициенты ликвидности
  15. 5.4.3. Коэффициенты
  16. Анализ с помощью финансовых коэффициентов