<<
>>

5.1. Иллюстрация: модель с двумя независимыми переменными

В этой главе регрессионный анализ по методу наименьших квадратов обобща­ется для случая, когда в модели регрессии вместо одной независимой перемен­ной используется несколько независимых переменных.
Рассматриваются два новых вопроса. Один из них касается проблемы разграничения эффектов раз­личных независимых переменных. Эта проблема в случае ее обострения извест­на под названием мультиколлинеарности. Другой вопрос состоит в оценке объе­диненной объясняющей способности независимых переменных в противополож­ность их отдельным предельным эффектам.

Множественный регрессионный анализ является развитием парного регрес­сионного анализа применительно к случаям, когда зависимая переменная ги­потетически связана с более чем одной независимой переменной. Большая часть анализа будет непосредственным расширением парной регрессионной модели, но здесь мы сталкиваемся с двумя новыми проблемами. Во-первых, при оценке влияния данной независимой переменной на зависимую переменную нам при­дется решать проблему разграничения ее воздействия и воздействий других не­зависимых переменных.

Во-вторых, мы должны будем решить проблему специ­фикации модели. Часто предполагается, что несколько переменных могут ока­зывать влияние на зависимую переменную, с другой стороны, некоторые пе­ременные могут не подходить для модели. Мы должны решить, какие из них следует включить в уравнение регрессии, а какие — исключить из него. Вторая проблема будет рассмотрена в главе 6. В данной главе мы полагаем, что специ­фикация модели правильна. В большинстве ситуаций мы ограничимся основным случаем, где используются только две независимые переменные.

Начнем с рассмотрения примера, в котором определяются факторы сово­купного спроса на продукты питания. Расширим первоначальную модель, вклю­чив учет влияния ценовых изменений на спрос, и допустим, что истинную за­висимость можно выразить следующим образом:

у = а + Р1х + £2р + и, (5.1)

где у — общая величина расходов на питание, х — располагаемый личный до­ход, а р — цена продуктов питания.

Это, разумеется, является значительным упрощением как с точки зрения состава независимых переменных, включен­ных в зависимость, так и с точки зрения математической формулы связи. Кро­ме того, мы неявно предполагаем наличие лишь прямой связи за счет допуще­ния о том, что расходы на питание не влияют на доход и цену. Это могло бы быть в том случае, если бы цены определялись на мировом рынке, но в боль­шинстве ситуаций более реально допустить, что расходы на продукты и их цены определяются совместно в результате взаимодействия предложения и спроса. Проблемы, которые возникают в таких моделях, будут рассмотрены в главе И.

Для геометрической иллюстрации этой зависимости необходима трехмерная диаграмма с отдельными осями для у, х и р (рис. 5.1). Основание диаграммы со­держит оси для х и р, и если пренебречь текущим влиянием случайного члена, то наклонная плоскость над ним показывает величину у, соответствующую любому сочетанию х и р, измеренную расстоянием по вертикали от данной точки до этой плоскости. Так как расходы на питание могут увеличиваться с ростом доходов и уменьшаться с увеличением цены, изображение на диаг­рамме было построено на основе допущения о том, что величина является положительной, а р2 — отрицательной. Конечно, нереально было бы предпо­лагать, что одна из величин х и р могла бы быть равной нулю, и структуру диаграммы можно описать следующим образом. Если бы обе величины х и р оказались равными нулю, то величина у равнялась бы а. При сохранении р = О уравнение (5.1) означает, что для любого положительного дохода величина у будет равна (а + р,х), и на рисунке приращение обозначено как «чистый эффект дохода». При сохранении х = О уравнение означает, что для любой по­ложительной цены величина у будет равной (а + р^), приращение р^ на ри­сунке обозначено как «чистый эффект цены». Поскольку р2 на практике явля­ется отрицательной величиной, отрицательным будет и этот эффект. Показан также комбинированный эффект дохода и цены (Р,х + Р2р).

а + 3/
а + р^ + р 2р + и

а + М + Р2Р

Комбинированный эффект дохода и цены
а + р 2р

а

О

Р

Рис. 5.1.

Истинная модель с двумя независимыми переменными: расход как функция дохода и цены

Итак, до с их пор мы пренебрегали случайным членом. Если он отсутствует на данный момент в уравнении (5.1), то значения у в выборке наблюдений для у,хир будут находиться точно на наклонной плоскости и будет довольно просто вывести точные значения (5, и Р2 (это не так просто сделать геометрически, если вы не имеете достаточно большого опыта построения трехмерных моде­лей, однако это довольно просто сделать алгебраическим путем).

Учет случайного члена приводит к тому, что фактические значения у будут лежать несколько выше или несколько ниже значений, соответствующих наклон­ной плоскости. Следовательно, теперь мы имеем трехмерный аналог для двух­мерной задачи, показанной на рис. 2.2. Вместо нахождения линии, соответ­ствующей двухмерному рассеянию точек, мы теперь должны расположить плос­кость так, чтобы она соответствовала трехмерному рассеянию. Уравнение для выбранной плоскости будет иметь вид:

у = а + Ь1х + Ь2р, (5.2)

и ее расположение будет зависеть от выбора величин а, Ьх и Ь2, являющихся, соответственно, оценками сх, Р, и Р2.

Используя данные для США за 1959-1983 гг. из табл. Б.1 и Б.2 по затратам на питание, располагаемому личному доходу и ценам, мы получим уравнение регрессии:

у = 116,7 + 0,112х — 0,739/?; Д2 = 0,99, (5.3)

(с.о.) (9,6) (0,003) (0,114)

где >> и х измерены в долларах США в постоянных ценах 1972 г., а р является индексом относительной цены, вычисленным путем деления неявного дефля­тора цен продуктов питания на неявный дефлятор общих расходов (равный 100 в 1972 г.) и умноженным на 100.

Полученное уравнение следует интерпретировать следующим образом. При каждом увеличении располагаемого личного дохода на 1 млрд. долл. (при сохра­нении постоянных цен) расходы на питание увеличатся на 112 млн. долл. На каждую единицу увеличения индекса цен (при сохранении постоянных дохо­дов) эти расходы уменьшатся на 739 млн.

долл. Чистый эффект в любой момент времени будет зависеть не только от этих коэффициентов, но также от разме­ров изменений х и р.

Например, в период 1975—1980 гг. располагаемый личный доход увеличился на 145,8 млрд. долл., и, согласно уравнению (5.3), это привело к увеличению расходов на питание на 16,3 млрд. долл. В течение указанного периода индекс цен упал со 111,9 до 109,7, т.е. на 2,2 пункта, и это привело к дальнейшему увеличению у на 1,6 млрд. долл. Совместный эффект, прогнозируемый уравне­нием (5.3), таким образом, составил увеличение затрат на питание в размере 17,9 млрд. долл. Как видно из табл. Б.1, фактическое увеличение оказалось не­сколько больше, а именно 20,3 млрд. долл.

Даже если бы спецификация модели оказалась правильной (разумеется, это является большим упрощением), то между прогнозируемым изменением и по­лученным результатом будет наблюдаться расхождение. Прежде всего оценки Р, и р2 подвержены влиянию ошибки выборки. Кроме того, фактические уров­ни затрат на питание в 1975 и 1980 гг. определялись не только экономической зависимостью, но и случайным членом и в тот и другой годы, а следовательно, измеренное приращение в течение этого периода имеет, наряду с экономичес­кой составляющей, также и случайную составляющую.

Упражнение

5.1. Вам необходимо рассчитать индекс относительных цен для выбранного вами товара для использования в упражнении 5.3, которое является продолже­нием упражнения 2.4. Рассчитайте его путем деления дефлятора цен для вашего товара из табл. Б.2 на дефлятор общих расходов и умножения на 100. Постройте график рассчитанного индекса. Можете ли вы дать экономическое объяснение изменений относительного индекса цен в течение указанного периода?

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — M.: ИНФРА-М, — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме 5.1. Иллюстрация: модель с двумя независимыми переменными:

  1. 3. 1. Иллюстрация: модель с двумя объясняющими переменными
  2. 9.1. Иллюстрация использования фиктивной переменной
  3. Взаимосвязь моделей АБ-АБ и 1Б-ЬМ. Основные переменные и уравнения модели 1Б-1*М. Вывод кривых /5 и ЬМ. Наклон и сдвиг кривых 1Б и ЬМ. Равновесие в модели 1Б-ЬМ
  4. Иллюстрация идей теории реального делового цикла на примере модели Солоу
  5. Регрессия методом наименьших квадратов с одной независимой переменной
  6. 2.5. Регрессия по методу наименьших квадратов с одной независимой переменной
  7. 10.МОДЕЛИ ДВОИЧНОГО ВЫБОРА, МОДЕЛИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ДЛЯ ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОЦЕНИВАНИЕ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
  8. 8.1. Допущения моделей со стохастическими объясняющими переменными
  9. 62. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ЭКЗОГЕННЫЕ И ЭНДОГЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
  10. Макроэкономические модели. Экзогенные и эндогенные переменные. Запасы и потоки
  11. Обозначения переменных модели спреда:
  12. 6.3. Влияние включения в модель переменной, которая не должна быть включена
  13. Управление двумя уровнями брендинга
  14. Иллюстрации
  15. РАЗДЕЛ I. МИР МЕЖДУ ДВУМЯ МИРОВЫМИ ВОЙНАМИ
  16. ЗАМЕТКИ К ИЛЛЮСТРАЦИЯМ