7.1. Еще раз об условиях Гаусса—Маркова

Свойства оценок коэффициентов регрессии зависят от свойств случайного члена в регрессионной модели. До сих пор мы предполагали, что значения слу­чайного члена в выборочных наблюдениях независимы и одинаково распреде­лены. Теперь рассмотрим, что происходит при нарушении этого предположе­ния. Мы обнаружим, что обычный МНК в некоторых ситуациях будет давать плохие результаты и что можно получить лучшие результаты при использова­нии других методов.

До сих пор мы предполагали, что случайный член в регрессионной модели удовлетворяет всем четырем условиям Гаусса—Маркова, изложенным в разде­ле 3.3. Если регрессионное уравнение имеет вид:

>> = a + px+w, (7.1)

то эти условия состоят в следующем:

Е(и.) = 0 для всех наблюдений;

дисперсия pop. var (и) одинакова для всех наблюдений; pop.

объясняющая переменная является неслучайной (так что pop. cov (х., и) = 0 для каждого наблюдения),

где и. и Xj — значения и и х в /-м наблюдении. Если регрессия не парная, а мно­жественная, то условия будут те же самые с тем различием, что последнему из них должна удовлетворять каждая объясняющая переменная. Как пояснялось в разделе 3.3, если не принимать во внимание особые случаи, первое условие по

сути является частью определения, если постоянный член включен в уравне­ние. В последующих двух главах будут рассматриваться последствия ситуаций, при которых не выполнены остальные условия. В этой главе мы рассмотрим второе и третье условия. В каждом случае рассмотрение будет осуществляться в такой последовательности: 1) почему рассматриваемое условие важно; 2) как оно может быть нарушено; 3) обзор возможных средств, исправляющих положе­ние.