<<
>>

2.9. Доверительные интервалы

До сих пор мы предполагали, что гипотеза предшествует эмпирически* I исследованиям. Однако это необязательно. Очень часто теория и экспериме -- взаимодействуют, в этом отношении типичным примером является регресс*» для функции заработка.
Вначале мы оцениваем регрессию, потому что в сосг ветствии с экономической теорией ожидаем, что продолжительность ПО.7) ченного образования влияет на заработок. Результат оценивания регресс к» | подтвердил это интуитивное ожидание в том смысле, что мы отвергли ну.:: вую гипотезу Р2 = 0, но после этого возникло ощущение некоторой пустот» поскольку наша теория неспособна выдвинуть предположение о том, что зна­чение р2 равняется некоторому конкретному числу. Теперь, однако, мы можсч I двинуться в противоположном направлении и задаться вопросом о том, какж-1 гипотезы совместимы с результатом оценивания нашей регрессии.

Вполне очевидно, что гипотеза о том, что р2 = 2,455, будет совместимой, так как гипотеза и результаты эксперимента совпадают. Кроме того, совмес­тимыми будут и гипотезы о том, что (32 = 2,454 и (32 = 2,456, так как разница между гипотезой и результатом эксперимента будет небольшой. Вопрос со­стоит в том, насколько сильно гипотетическое значение может отличаться от результата эксперимента, прежде чем они станут несовместимыми и мы долж­ны будем отклонить нулевую гипотезу.

Мы можем ответить на этот вопрос, используя предшествующие рассужде­ния. Из уравнения (2.72) мы можем видеть, что коэффициент регрессии Ъ2 и гипотетическое значение (32 будут несовместимыми, если выполняются усло­вия

—и™ с.о Щ X /крит или Ь2- р2 < -с.о.(М) X /КРИТ, (2.77)

что соответствует

ь2 - с.оЩ х /КРИТ > Р2 или Ь2 + с.о\Ь2) х /крит < р2.

(2.78)

Отсюда следует, что гипотетическое значение |32 является совместимым с результатом оценивания регрессии, если одновременно выполнены условия

Ь2 - с.о.{Ъ2) х /крит < р2 и Ь2 + с.о.(Ь2) х /крит > р2, (2.79)

т.е. если величина (32 удовлетворяет двойному неравенству

Ъ2 - с.о,{Ьг) х ?крит < р2 < Ъ2 + с.оЩ х /крит. (2.80)

Любое гипотетическое значение для (32, которое удовлетворяет соотноше­нию (2.80), будет автоматически совместимо с оценкой Ь2, иными словами, не будет опровергаться ею. Множество всех этих значений, определенных как интервал между нижней и верхней границами неравенства, известно как дове­рительный интервал для величины Р2.

Отметим, что границы доверительного интервала одинаково отстоят от Ь2. Отметим также, что так как значение /крит зависит от выбора уровня значимо­сти, границы будут также зависеть от этого выбора. Если принимается 5%-ный уровень значимости, то соответствующий доверительный интервал известен как 95%-ный интервал. Если выбирается 1%-ный уровень, то можно получить доверительный интервал с 99% и т.д. Так как /крит будет больше для 1%-ного уровня, чем для 5%-ного (при любом данном числе степеней свободы), то, следовательно, интервал в 99% будет шире интервала в 95%. Он включает все гипотетические значения для (32 в 95%-ном доверительном интервале, а также дополнительные промежутки с той и с другой стороны.

Т&ммер

В распечатке для функции заработка, представленной в табл. 2.6, коэффи­циент при переменной 5 составил 2,455, его стандартная ошибка равнялась

Вставка 2.7. Вторая интерпретация доверительного интервала

Когда вы строите доверительный интервал, числа, которые вы определяете в качестве его верхнего и нижнего пределов, содержат случайные составляющие, которые зависят от значений случайного члена в наблюдениях выборки.

На­пример, неравенство (2.80) включает верхний предел

д2 + с.о.(/>2)х/крит.

Как Ь2, так и с.о.(Ь2) частично определяются значениями случайного члена. Мы надеемся, что доверительный интервал будет включать истинное значение параметра, но иногда он будет так искажен случайными факторами, что это бу­дет не так.

Какова же вероятность того, что доверительный интервал будет включать истинное значение параметра? Легко показать, используя элементарную тео­рию вероятности, что в случае 95%-ного доверительного интервала данная ве­роятность составляет 95% при условии, что модель правильно определена и что предпосылки, перечисленные в разделе 2.2 выполнены. Аналогичным образом, в случае 99%-ного доверительного интервала данная вероятность составляет 99%.

Оцененный коэффициент (например, Ъ2 в неравенстве (2.80)) обеспечивает точечную оценку рассматриваемого параметра, но при этом вероятность того, что истинное значение будет в точности равно этой оценке, ничтожно мала. До­верительный интервал дает так называемую «интервальную оценку» параметра, т.е. диапазон значений, который будет включать истинное значение с высокой * заранее определенной вероятностью. Именно эта интерпретация и дает назва­ние доверительному интервалу. (Более подробно этот вопрос рассматривается в работе Т. Уоннакотга и Р. Уоннакотта (\\bnjiacott, Шэппасо«, 1990), гл. 8.)

0,232, а критическое значение / при 5%-ном уровне значимости — примерн: 1,965. Отсюда соответствующий 95%-ный доверительный интервал составляв

2,455 - 0,232 х 1,965 < (32< 2,455 + 0,232 x 1,965. (2.81>

Иными словами,

1,999 < (32 < 2,911. (2.82»

Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 1,999 • ниже 2,911. Любые гипотетические значения внутри этих пределов не буд>- опровергаться полученным результатом регрессии. Доверительный интервал показан в последнем столбце распечатки программы 81а1а. Это, однако, не яв­ляется стандартным свойством регрессионных пакетов, и обычно приходите? рассчитывать интервал самостоятельно.

Упражнения

2.20. Вычислите 99%-ный доверительный интервал для (32 в примере функции зара­ботка {Ь2 = 2,455, с.о.(Ь2) = 0,232) из табл. 2.6 и объясните, почему некоторые егс значения не были включены в 95%-ный доверительный интервал, рассчитанные на основе неравенства (2.82).

Вычислите 95%-иый доверительный интервал для коэффициента наклона для оцененной вами функции заработка по набору данных из ЕАЕЕ.

.' Вычислите 95%-ный доверительный интервал для коэффициента Р2 в оценен­ной модели связи общей инфляции и инфляции, вызванной ростом заработной платы:

р= -1,21 +0,82 и>.

(0,05) (0,10)

Какие выводы можно сделать на основе полученных результатов?

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме 2.9. Доверительные интервалы:

  1. § 16.8. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ В ЛИНЕЙНОМ РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ
  2. 3.8. Доверительные интервалы
  3. Интервалы планирования
  4. Доверительный управляющий
  5. 49. Доверительное управление имуществом
  6. Объекты доверительного управления
  7. Доверительные управляющие
  8. Учредитель доверительного управления
  9. Доверительное управление имуществом
  10. Заполнение раздела 2.1 "Распределение налоговой базы (строка 0100) и численности физических лиц по интервалам шкалы регрессии" Декларации
  11. Операции по доверительному управлению
  12. Особенности налогообложения имущества, переданного в доверительное управление
  13. Учет расчетов по договорам доверительного управления имуществом
  14. Доверительное управление ценными бумагами клиентов.
  15. Доверительное управление
  16. Возникновение и развитие института доверительного управления
  17. Доверительное управление