8.6.Инструментальные переменные
В сущности, метод инструментальных переменных заключается в частичной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая не коррелирована со случайным членом.
Ограничимся случаем парной регрессииУ^ + р^. + и,.. (8.45)
и предположим, что по какой-либо причине X имеет случайную составляющую, зависящую от и. В этих условиях непосредственное применение МНК для построения регрессии Уна Xпривело бы к несостоятельным оценкам параметров.
Теперь предположим, что можно найти другую переменную 2, которая коррелирована с X, но не коррелирована с и. Покажем, что основанная на использовании инструментальных переменных оценка параметра Р2, определяемая как
±(г1-2)(г1-Г)
дип = ------------------------------ 9 (8 46)
1=1
является состоятельной при условии, что на больших выборках Соу(^ X) стремится к конечному, отличному от нуля пределу, который мы обозначим кака^
Перед этим полезно сравнить с МНК-оценкой, которую обозначим как /*2 *
Амнк=М_--------------------------- = ------------------------------ .
(8.47)Оценка ИП в парном регрессионном анализе получается путем подстановки инструментальной переменной Z вместо X в числителе и вместо одного X (но не обоих) в знаменателе.
Заменив У его выражением из (8.45), мы можем записать выражение для ЛИП следующим образом:
АИП=/=1---------------------------------------------- =
* п
Яъ-Чъ-х)
1=1
£(р2 (г.-гр, -2)(и, -«))
■М-------------- ;---------- =---------- =----------------- = Р2 + ^--------------------------- • (8-48)
/=1 /=1
Таким образом, можно заметить, что оценка по методу инструментальных переменных равна истинному значению плюс ошибка. На больших выборках ошибка исчезает. Деление числителя и знаменателя на п позволяет взять предел по вероятности:
р Ит±£(г,-£)(«*-й)
рЦт 1>2П = Р2 +---------------------------- = р2+^ = р2+-^- = р2 (8.49)
ГОШ-КЪ-ЩХ,-*) п /=1
при условии, что 2 действительно распределена независимо от и. Следовательно, на больших выборках 62и будет стремиться к истинному значению Р2
Почти ничего нельзя сказать о распределении на малых выборках, но при увеличении п его распределение будет стремиться к нормальному с математическим ожиданием Р2 и дисперсией а^ип, заданной как
2 F = 0 0000
Residual 122.21606 533 .229298424 R-squared = 0.3454
................................................................................ -............. Adj R-squared = 0.3380
Total 186.707643 539 .34639637 Root MSE = .47885
LGEARN Coef. Std. Err. t P>|t| [95%Conf. Interval]
•S .111379 .0476886 2.34 0.020 .0176984 .2050596
EXP .0258798 .0081187 3.19 0.002 .0099313 .0418284
ASVABC .0092263 .007991 1.15 0.249 -.0064714 .024924
MALE .2619787 .0429283 6.10 0.000 .1776492 .3463082
ETHBLACK -.0121846 .0822942 -0.15 0.882 -.1738454 .1494763
ETHHISP .0457639 .0955115 0.48 0.632 -.1418612 .2333891
_cons .2258512 .3887468 0.58 0.562 -.5378125 .989515
Instrumented: S
Instruments: EXP ASVABC MALE ETHBLACK ETHHISP SM SF SIBLINGS LIBRARY .
estimates store EARNIV. reg LGEARN S EXP ASVABC MALE ETHBLACK ETHHISP
Source SS df MS Number of obs = 540
.......... Model 65.490707 ......................... ГйШт ^,533) = 47^
Residual 121.216936 533 .227423895 R-squared = 0.3508
......................................... Adi R-squared = 0.3435
Total 186.707643 539 .34639637 Root MSE = 47689
LGEARN Coef. Std. Err. t P>|t| [95%Conf. Interval]
S .0883257 .0109987 8.03 0.000 .0667196 .1099318
EXP .0227131 .0050095 4.53 0.000 .0128724 .0325538
ASVABC 0129274 .0028834 4.48 0.000 .0072633 .0185916
MALE .2652878 .042235 6.28 0.000 .1823203 .3482552
ETHBLACK .0077265 .0715863 0.11 0.914 -.1328994 .1483524
ETHHISP .0536544 .0937966 0.57 0.568 -.1306019 .2379107
cons .4002952 .1663149 2.41 0.016 .0735821 .7270083
Окончание табл.8.4
estimates store EARNOLS
hausman EARNIV EARNOLS, constant — Coefficients —
sqrt(diag (V_b-V_B)) S.E. |
(B) EARNOLS |
(b-B) Difference |
(b) EARNIV |
S EXP ASVABC MALE
ETHBLACK ETHHISP
cons
.111379 .0258798 .0092263 .2619787 -.0121846 .0457639 .2258512
.0883257 .0227131 .0129274 .2652878 .0077265 .0536544 .4002952 .0230533 .0031667 -.0037011 -.0033091 -.019911 -.0078904 -.174444 .0464029 .0063889 .0074527 .0076842 .0405924 .018018 .3513736
b = consistent under Ho and Ha; obtained from ivreg B = inconsistent under Ha, efficient under Ho; ; obtained from regress Test: Ho: difference in coefficients not systematic
chi2(7) = (b - B)'[(V_b - V_B)"H)](b - B) = = 0.25
Prob>chi2 = 0.9999
Верхняя половина распечатки для теста Дарбина-Ву-Хаусмана воспроизводит коэффициенты ИП в столбце Ъ и коэффициенты МНК в столбце В.
Нижняя половина распечатки подтверждает наличие семи степеней свободы и показывает расчет статистики у}. Она равна 0,25, что ниже 14,07 — критического значения у} при уровне значимости в 5% с семью степенями свободы. Соответственно мы не отвергаем нулевую гипотезу об отсутствии разницы между оценками ИП и МНК. Мы делаем вывод о предпочтительности использования здесь обычного МНК, поскольку стандартные ошибки полученных с его помощью оценок, особенно коэффициентов при S, ЕХР и ASVABC, меньше, чем их аналоги при использовании метода инструментальных переменных. Это, вероятно, правильный вывод. Длительность обучения респондентов детально отражена в базе данных NLSY, и поэтому ошибки ее измерения почти наверняка минимальны.Тест Хаусмана может быть использован для сравнения оценок коэффициентов, полученных обычным МНК и методом инструментальных переменных во всех случаях, когда при выполнении нулевой гипотезы те и другие оценки состоятельны, но МНК-оценки более эффективны, а при выполнении альтернативной гипотезы МНК-оценки несостоятельны. Еще одно его приложение будет рассмотрено в следующей главе. Если область применения теста расширяется, то возможность выполнения его становится стандартной функцией регрессионных пакетов.
Упражнения
8.9. В упражнении 8.2 количество труда Ь, применяемого фирмами, является линейной функцией от ожидаемого объема продаж:
L = 8, + 8^.
Объясните, как эта зависимость может использоваться исследователем для решения проблемы смещения, вызванного ошибками измерения.
8.10. Возможно, что показатель ASVABC является плохим измерителем для способностей, имеющих значение для уровня заработка. В соответствии с этим для набора данных EAEF оцените регрессию часовых заработков на продолжительность обучения и показатель ASVABC с помощью обычного МНК и с помощью ИП, использовав переменные SM, SF, SIBLINGS и LIBRARY в качестве инструментов для ASVABC. Выполните тест Дарбина—Ву-Хаусмана для ответа на вопрос о том, подвержена ли переменная ASVABC ошибкам измерения.
8.11. В чем разница между инструментальной переменной и замещающей переменной (см. раздел 6.4)? Когда целесообразно воспользоваться одной из этих переменных, а когда — другой?
Ключевые понятия
инструмент
инструментальная переменная
переменное потребление переменный доход
несовершенные замещающие переменные постоянное потребление
ошибка измерения тест Дарбина—Ву—Хаусмана оценка методом инструментальных переменных (ИП) постоянный доход
смещение из-за ошибки измерения
Еще по теме 8.6.Инструментальные переменные:
- 11.4. Инструментальные переменные(ИП)
- 8.4. Инструментальные переменные
- 9.3. Оценивание с помощью инструментальных переменных
- 13.1. Инструментальное хозяйство предприятия
- 6.3.4. Другие инструментальные системы
- 7.2. ПРАКТИКА КОНТРОЛЛИНГА В ОАО "ХРАПУНОВСКИЙ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЙ ЗАВОД"
- Инструментальные связи
- 3.ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ КОНТРОЛЛИНГА
- 4.1. Инструментальные средства технологического обеспечения ИС и ИТ
- 28. Конструкционные и инструментальные углеродистые стали. Маркировка, применение
- § 3. Инструментальные подходы и современные методики исследования политической жизни