8.6.Инструментальные переменные

В сущности, метод инструментальных переменных заключается в частич­ной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, кото­рая не коррелирована со случайным членом. Ограничимся случаем парной регрессии

У^ + р^. + и,.. (8.45)

и предположим, что по какой-либо причине X имеет случайную составляю­щую, зависящую от и. В этих условиях непосредственное применение МНК для построения регрессии Уна Xпривело бы к несостоятельным оценкам па­раметров.

Теперь предположим, что можно найти другую переменную 2, которая коррелирована с X, но не коррелирована с и. Покажем, что основанная на ис­пользовании инструментальных переменных оценка параметра Р₂, определя­емая как

±(г₁-2)(г₁-Г)

дип ₌ ------------------------------ _{9 (8 46)}

1=1

является состоятельной при условии, что на больших выборках Соу(^ X) стре­мится к конечному, отличному от нуля пределу, который мы обозначим кака^

Перед этим полезно сравнить с МНК-оценкой, которую обозначим как /*2 *

_Амнк_=М_--------------------------- ₌ ------------------------------ . (8.47)

Оценка ИП в парном регрессионном анализе получается путем подстанов­ки инструментальной переменной Z вместо X в числителе и вместо одного X (но не обоих) в знаменателе.

Заменив У его выражением из (8.45), мы можем записать выражение для Л^ИП следующим образом:

АИП₌/=1---------------------------------------------- ₌

* п

Яъ-Чъ-х)

1=1

£(р₂ (г.-гр, -2)(и, -«))

■^М-------------- ;---------- ₌---------- ₌----------------- = Р2 + ^--------------------------- • (8-48)

/=1 /=1

Таким образом, можно заметить, что оценка по методу инструментальных переменных равна истинному значению плюс ошибка. На больших выборках ошибка исчезает. Деление числителя и знаменателя на п позволяет взять пре­дел по вероятности:

р Ит±£(г,-£)(«*-й)

рЦт 1>2^П = Р₂ +---------------------------- = р₂₊^ ₌ р₂₊-^- ₌ р_{2 (8}.49)

ГОШ-КЪ-ЩХ,-*) ^п /=1

при условии, что 2 действительно распределена независимо от и.

Почти ничего нельзя сказать о распределении на малых выборках, но при увеличении п его распределение будет стремиться к нормальному с мате­матическим ожиданием Р₂ и дисперсией а^_ип, заданной как

2 F = 0 0000

Residual 122.21606 533 .229298424 R-squared = 0.3454

................................................................................ -............. Adj R-squared = 0.3380

Total 186.707643 539 .34639637 Root MSE = .47885

LGEARN Coef. Std. Err. t P>|t| [95%Conf. Interval]

•S .111379 .0476886 2.34 0.020 .0176984 .2050596

EXP .0258798 .0081187 3.19 0.002 .0099313 .0418284

ASVABC .0092263 .007991 1.15 0.249 -.0064714 .024924

MALE .2619787 .0429283 6.10 0.000 .1776492 .3463082

ETHBLACK -.0121846 .0822942 -0.15 0.882 -.1738454 .1494763

ETHHISP .0457639 .0955115 0.48 0.632 -.1418612 .2333891

_cons .2258512 .3887468 0.58 0.562 -.5378125 .989515

Instrumented: S

Instruments: EXP ASVABC MALE ETHBLACK ETHHISP SM SF SIBLINGS LIBRARY . estimates store EARNIV

. reg LGEARN S EXP ASVABC MALE ETHBLACK ETHHISP

Source SS df MS Number of obs = 540

.......... Model 65.490707 ......................... ГйШт ^,533) = 47^

Residual 121.216936 533 .227423895 R-squared = 0.3508

......................................... Adi R-squared = 0.3435

Total 186.707643 539 .34639637 Root MSE = 47689

LGEARN Coef. Std. Err. t P>|t| [95%Conf. Interval]

S .0883257 .0109987 8.03 0.000 .0667196 .1099318

EXP .0227131 .0050095 4.53 0.000 .0128724 .0325538

ASVABC 0129274 .0028834 4.48 0.000 .0072633 .0185916

MALE .2652878 .042235 6.28 0.000 .1823203 .3482552

ETHBLACK .0077265 .0715863 0.11 0.914 -.1328994 .1483524

ETHHISP .0536544 .0937966 0.57 0.568 -.1306019 .2379107

cons .4002952 .1663149 2.41 0.016 .0735821 .7270083

Окончание табл.8.4

estimates store EARNOLS

hausman EARNIV EARNOLS, constant — Coefficients —

S EXP ASVABC MALE

ETHBLACK ETHHISP

cons

.111379 .0258798 .0092263 .2619787 -.0121846 .0457639 .2258512

.0883257 .0227131 .0129274 .2652878 .0077265 .0536544 .4002952 .0230533 .0031667 -.0037011 -.0033091 -.019911 -.0078904 -.174444 .0464029 .0063889 .0074527 .0076842 .0405924 .018018 .3513736

b = consistent under Ho and Ha; obtained from ivreg B = inconsistent under Ha, efficient under Ho; ; obtained from regress Test: Ho: difference in coefficients not systematic

chi2(7) = (b - B)'[(V_b - V_B)"H)](b - B) = = 0.25

Prob>chi2 = 0.9999

Верхняя половина распечатки для теста Дарбина-Ву-Хаусмана воспроиз­водит коэффициенты ИП в столбце Ъ и коэффициенты МНК в столбце В. Нижняя половина распечатки подтверждает наличие семи степеней свободы и показывает расчет статистики у}. Она равна 0,25, что ниже 14,07 — крити­ческого значения у} при уровне значимости в 5% с семью степенями свободы. Соответственно мы не отвергаем нулевую гипотезу об отсутствии разницы между оценками ИП и МНК. Мы делаем вывод о предпочтительности ис­пользования здесь обычного МНК, поскольку стандартные ошибки получен­ных с его помощью оценок, особенно коэффициентов при S, ЕХР и ASVABC, меньше, чем их аналоги при использовании метода инструментальных пере­менных. Это, вероятно, правильный вывод. Длительность обучения респон­дентов детально отражена в базе данных NLSY, и поэтому ошибки ее измере­ния почти наверняка минимальны.

Тест Хаусмана может быть использован для сравнения оценок коэффици­ентов, полученных обычным МНК и методом инструментальных переменных во всех случаях, когда при выполнении нулевой гипотезы те и другие оценки состоятельны, но МНК-оценки более эффективны, а при выполнении аль­тернативной гипотезы МНК-оценки несостоятельны. Еще одно его приложе­ние будет рассмотрено в следующей главе. Если область применения теста расширяется, то возможность выполнения его становится стандартной функ­цией регрессионных пакетов.

Упражнения

8.9. В упражнении 8.2 количество труда Ь, применяемого фирмами, является линей­ной функцией от ожидаемого объема продаж:

L = 8, + 8^.

Объясните, как эта зависимость может использоваться исследователем для ре­шения проблемы смещения, вызванного ошибками измерения.

8.10. Возможно, что показатель ASVABC является плохим измерителем для способнос­тей, имеющих значение для уровня заработка. В соответствии с этим для набора данных EAEF оцените регрессию часовых заработков на продолжительность обучения и показатель ASVABC с помощью обычного МНК и с помощью ИП, использовав переменные SM, SF, SIBLINGS и LIBRARY в качестве инструментов для ASVABC. Выполните тест Дарбина—Ву-Хаусмана для ответа на вопрос о том, подвержена ли переменная ASVABC ошибкам измерения.

8.11. В чем разница между инструментальной переменной и замещающей перемен­ной (см. раздел 6.4)? Когда целесообразно воспользоваться одной из этих пере­менных, а когда — другой?

Ключевые понятия

инструмент

инструментальная переменная

переменное потребление переменный доход

несовершенные замещающие переменные постоянное потребление

ошибка измерения тест Дарбина—Ву—Хаусмана оценка методом инструментальных переменных (ИП) постоянный доход

смещение из-за ошибки измерения