6.5.Проверка линейного ограничения

В разделе 3.4 был обсужден пример модели охвата обучением с перемен­ной S, зависящей от ASVABC, SM и SF. Результаты регрессии показаны в табл. 6.7.

Несколько удивляет то, что коэффициент при SM оказался незначимым даже на уровне 5% с использованием одностороннего теста. Однако подбор супруга, чаще всего близкого по уровню, обусловливает высокую корреляцию

между БМ и 57% и регрессионная модель начинает страдать от мультиколлине- арности.

Мы далее предположили, что полученное матерью и отцом респондента образование равно важно, что позволило ввести ограничение Р₃ = р₄ и пере­писать уравнение как

£ = Р, + р₂ АЯУАВС + р₃ (5М + £/0+и = = $_х+$₂А8УАВС+$_ъ8Р + и, (6.24)

где БР есть сумма 5М и Ж Для такой спецификации регрессии результаты показаны в табл. 6.8.

Стандартная ошибка у коэффициента переменной при ЯР намного мень­ше, чем у коэффициентов при ЯМ и ЯЕ, что указывает на выигрыш в эффек­тивности в результате введения ограничения, и вследствие этого значение /-статистики очень высоко. Тем самым была снята проблема мультиколлине- арности. Мы, однако, должны проверить значимость ограничения, и для это­го существуют две эквивалентные процедуры.

До осуществления этих процедур, мы должны сделать различие между ли­нейными и нелинейными ограничениями.

Проверка ограничения с помощью Р-критерия

Первая процедура заключается в осуществлении /'-теста для линейного ограничения. Построим обе формы регрессии (как с ограничением, так и без него) и обозначим сумму квадратов остатков через ЕЯЯд в варианте с ограни­чением и ЛУУ^ — в варианте без ограничения. Поскольку введение ограниче­ния ведет к сужению возможностей подбора уравнения регрессии, обеспечи­вающего наибольшее соответствие с имеющимися данными, ЯЯЯд не может быть меньше, чем АУЗ^, а будет (в общем случае) больше. Нам хотелось бы проверить, является ли улучшение качества регрессии при переходе от вари­анта с ограничением к варианту без ограничения статистически значимым. Если да, то ограничение должно быть отброшено.

Для этой цели мы можем использовать ./-критерий, сконструированный так же, как и в разделе 3.5:

Улучшение качества уравнения/Число использованных

________________ степеней свободы___

Оставшаяся сумма квадратов отклонений/ Оставшееся число степеней свободы

Здесь улучшение качества регрессии, получаемое при переходе от модели с ограничением к модели без ограничения, выражается величиной (АУУд - - ЛУЗ^). В модели без ограничения появляется одна дополнительная степень свободы (поскольку оценивается на один параметр больше), и сумма квадра­тов отклонений, остающаяся после перехода от ограниченного к неограни­ченному варианту, составляет ЛУУ^. Следовательно, /'-статистика в данном случае равна

ЛЯЯц /(п-к)

где к — число объясняющих переменных в варианте без ограничения.

В случае функции охвата обучением нулевая гипотеза заключалась в следу­ющем: #₀: Р₃ = Р₄, где Р₃ — коэффициент при .УМ; Р₄ — коэффициент при + и; (6.29)

О = р₃ БМ + р₄^ - рз^ = р₃.Ш + р^ ^- р₃ («Ш" + БР) = (Р₄ - р₃ )5/\ (6.30)

Добавив это слагаемое к модели с ограничением, мы получим вариант мо­дели без ограничений с комбинированными параметрами:

5 = Р₁+Р₂У45КАВС + Рз5Р + (Р₄-РЗ)5Р + М. (6.31)

Нулевая гипотеза Н₀: Р₄ - р₃ = 0 здесь заключается в том, что коэффициент при дополнительном члене равен нулю, а альтернативная гипотеза состоит в том, что он отличается от нуля. Конечно, нулевая гипотеза соответствует зна­чимости ограничения. Если оно значимо, то дополнительный член не нужен, и вариант модели с ограничением адекватен имеющимся данным.

В табл. 6.9 представлена соответствующая регрессия для примера с функ­цией охвата обучением. Можно видеть, что коэффициент при переменной Я/ не отличается значимо от нуля, и это говорит о том, что дополнительный член не нужен, а вариант модели с ограничением адекватно представляет имеющи­еся данные.

Почему этот способ эквивалентен использованию /'-теста? Напомним, что /'-тест проверяет улучшение качества уравнения при переходе от его варианта с ограничением к варианту без ограничения. Это осуществляется путем до­бавления дополнительного члена, но, как известно, /'-тест для проверки улуч­шения качества уравнения путем добавления дополнительного члена эквива­лентен /-тесту для проверки значимости коэффициента этого члена (см. раз­дел 3.5).

Упражнения

6.11. Так же ли важен прошлый стаж по сравнению со стажем работы у нынешнего работодателя? Используя данные EAEF, оцените регрессию LGEARN на S, ЕХР, MALE, ETHBLACKw ETHHISP. Далее определите

РREV EXP = EXP - TENURE.

Переменная TENURE здесь обозначает число лет, в течение которых респондент работает у нынешнего работодателя. Оцените регрессию LGEARN на S, PREVEXP, TENURE, MALE, ETHBLACKu ETHHISP. Оценки коэффициентов при PREVEXP и TENURE различаются. Это ставит вопрос о том, обусловлено ли это различие случайными факторами или же эти коэффициенты значимо различны. Сформу­лируем нулевую гипотезу Н₀:8, = 5₂, где б, — коэффициент при PREVEXP, а 5₂ — коэффициент при TENURE. Объясните, почему регрессия с переменной ЕХР является правильной спецификацией, если Н₀ верна, в то время как регрессия с переменными PREVEXP и TENURE должна быть использована в том случае, если Н₀ ложна. Выполните /'-тест для ограничения, используя значения RSS для двух регрессий. Проделайте это для всей выборки, а также отдельно для мужчин и женщин.

6.12. Используя данные ЕЛЕЕ, оцените регрессию LGEARN на S, ЕХР, MALE, ETHBLACK, ETHHISP и TENURE. Покажите, что t-тест для коэффициента при TENURE является тестом для ограничения, описанного в упражнении 6.11. Удос­товерьтесь, что полученные результаты совпадают. Будет ли это так для совме­щенной выборки, а также для мужчин и женщин по отдельности?

6.13*. Первая часть приведенной ниже распечатки показывает результат оценивания регрессии переменной LGFDHO (логарифм годовых расходов домохозяйств на продукты питания домашнего потребления) на переменные LGEXP (логарифм общих годовых расходов домохозяйств) и LGSIZE (логарифм числа потребителей в домохозяйстве) на основе выборки из 868 домохозяйств в опросе о потреби­тельских расходах за 1995 г. Во второй части представлена регрессия LGFDHOPC (логарифм расходов на продукты питания на душу населения, FDHO/SIZE) на переменную LGEXPPC (логарифм общих расходов на душу населения, ЕХР/SIZE). В третьей части представлена регрессия LGFDHOPC на LGEXPPC и LGSIZE.

1) Объясните, почему вторая модель является версией первой модели с ограни­чением, сформулировав это ограничение.

2) Выполните /"-тест для этого ограничения.

3) Выполните /-тест для этого ограничения.

4) Представьте выводы из анализа результатов оценивания регрессии.

6.14. В своей классической статье М. Нерлов (№г1оуе, 1963) предложил следующую функцию издержек для производства электроэнергии:

где С — совокупные издержки производства; У — выпуск (в киловатт-часах); Р_х — цена использования единицы труда; Р₂ — цена использования единицы ка­

питала; Р_ъ — цена топлива (все показатели измерены в соответствующих едини­цах); V — случайный член. Теоретически сумма ценовых эластичностей выпуска должна равняться единице:

и, следовательно, функцию издержек можно переписать как

кА;

Два представленных варианта функции издержек были оценены Нерловом для выборки из 29 компаний среднего размера, и были получены следующие резуль­таты (в скобках приведены стандартные ошибки):

logC = -4,93 + 0,94 log У+0,31 log Р_] -0,26 log Р₂ +0,44 log Р₃; RSS = 0,336;

(1,62) (0,11) (0,23) (0,29) (0,07)

" С Р Р

logy =-6,55 +0,91 log У+0,51 logy +0,09 logy; RSS = 0,364.

³ (0,16) (0,11) (0,23) ³ (0,19) ³ Сравните результаты оценивания двух уравнений регрессии и выполните тест на значимость ограничения.