3.11. Взаимосвязи между критериями в парном регрессионном анализе
фициента корреляции между х и у в парной регрессионной модели.
Начнем с последнего из них.^тестдля коэффициента корреляции
(3.65) |
В разделе 1.8 мы определили выборочный коэффициент корреляции для двух переменных х и у:
Соу {х,у)
Даже если переменные х и у вообще не коррелированы и теоретический коэффициент корреляции р равен нулю, вы будете связаны известным ограничением и неизбежно получите в расчетах некоторую величину выборочного коэффициента корреляции. Для конкретной выборки г может точно равняться нулю только чисто случайно, и можно ли утверждать, что значение г действительно указывает на наличие зависимости, или же оно появилось случайно?
Как обычно, ответом будет формулирование нулевой гипотезы о том, что зависимости нет, а затем — попытка ее опровергнуть.
Для проверки гипотетической линейной зависимеетаптежду х и у, т. е. единственного типа зависимости, который будет рассматриваться в данной книге, справедлива следующая процедура.Первый шаг состоит в вычислении /-статистики для г:
(3.66)
Выбрав уровень значимости, скажем, в 5%, вы находите критическое значение /с (п — 2) степенями свободы. Если величина / превышает его критическое значение (в положительную или отрицательную сторону), вы отклоняете нулевую гипотезу о том, что р = 0, и заключаете, что нашли линейную зависимость (положительную или отрицательную).
Доказательство этого вам уже знакомо.
Если нулевая гипотеза верна, то величина / будет превышать его критическое значение (в положительную или отрицательную сторону) только в 5% случаев. Это означает, что при выполнении проверки вероятность допущения ошибки I рода, отклоняющей нулевую гипотезу, когда она фактически верна, составляет 5%.Возможно, что риск допущения такой ошибки в 5% случаев слишком велик для вас. Тогда вы можете сократить степень риска, осуществляя расчеты при уровне значимости в 1%. Критическое значение / теперь будет выше, чем до сих пор, поэтому вам потребуется более высокая (положительная или отрицательная) /-статистика для отклонения нулевой гипотезы, а это означает, что вам потребуется более высокое значение г.
Обоснованность этого /-теста зависит от того, удовлетворяют ли у и х некоторым условиям. Достаточно будет, чтобы величина у была связана с величиной х с помощью модели парной регрессии рассматриваемого типа. Данный тест
справедлив только для нулевой гипотезы об отсутствии зависимости. Если вы хотите проверить гипотезу о том, что теоретический коэффициент корреляции вместо нуля равен некоторому другому значению, то должны будете использовать более сложную процедуру.
Зависимость между критериями
Мы увидим, что в случае парного регрессионного анализа (и только парного регрессионного анализа) /-критерий для гипотезы р = О, F-критерий для коэффициента R2 и /-критерий для гипотезы р = 0 эквивалентны друг другу. Мы начнем с определения зависимости между первыми двумя тестами.
В разделе 2.7 было показано, что коэффициент Л2 может интерпретироваться как квадрат коэффициента корреляции между у и у9 то есть г2« . Теперь, в случае парной регрессии, у является линейной функцией х, поэтому коэффициент корреляции между у и у должен совпадать с коэффициентом корреляции между х и у, то есть с г (см. упражнение 1.5). Следовательно, в парном регрессионном анализе (и только в парном регрессионном анализе) R2 должен быть равен квадрату коэффициента корреляции между х и у.
Мы докажем это, непосредственно начиная с уравнения (2.46), т. е. с определения коэффициента R2:2 _ Vаг0 '
поскольку Var (у) = Var (а + bx) = b2 Var (x). Делая замену для b, получим:
2 = fCov(jc^)]2 Уаг(х) = Cov(х,у)2 { Var(x) J VarOO Var(x)Var(>0'
Из уравнений (3.61) и (3.66) можно видеть, что /'-статистика для коэффициента R2 является в точности квадратом /-статистики для г . Как и следовало ожидать, критическое значение F будет равно квадрату критического значения /-статистики при любом уровне значимости, и эти два теста всегда дают один и тот же результат. Другими словами, коэффициент корреляции между х и у будет указывать на значимую зависимость, если и только если уровень R2 в регрессии между у и х будет говорить о такой зависимости.
Более того, можно показать, что величина b будет значимо отличаться от нуля при использовании /-теста, если и только если F-тест значим при данном уровне значимости. Используя тот факт, что Var (у) равняется £2Var(x), и оба определения коэффициента R2 в уравнениях (2.46) и (2.47), мы можем переписать выражение для стандартной ошибки величины b:
/|Л I Var (е) J Var(e) .1 1 - R2 C0(3) = l(n-2)Var(x) = 4
Еще по теме 3.11. Взаимосвязи между критериями в парном регрессионном анализе:
- 12. Взаимосвязь между Г-критерием общего качества регрессии и критерием для коэффициента наклона в парном регрессионном анализе
- Корреляционный и регрессионный анализ
- 2. ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
- 5. МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
- 1.ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
- 3.МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
- § 16.8. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ В ЛИНЕЙНОМ РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ
- 3.6.1. Взаимосвязь между финансовыми коэффициентами
- 65. ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ ВАЛЮТНЫМ И ФОНДОВЫМ РЫНКОМ
- 65. ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ ВАЛЮТНЫМ И ФОНДОВЫМ РЫНКОМ
- 65. ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ ВАЛЮТНЫМ И ФОНДОВЫМ РЫНКОМ
- Взаимосвязь между ценой облигации, купонной выплатой, ставкой дисконта и сроком погашения
- 1.6.1 Взаимосвязь между системами электронной обработки данных и этой книгой
- § 15.5. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УРОВНЕМ РИСКА ИНВЕСТИЦИЙ И ТРЕБУЕМОЙ НОРМОЙ ПРИБЫЛИ
- § 6. Статистические взаимосвязи и их анализ
- 3.4. Обобщение данных бухгалтерского учета. Взаимосвязь между счетами и бухгалтерским балансом