<<
>>

3.11. Взаимосвязи между критериями в парном регрессионном анализе

Теперь мы выведем некоторые зависимости между критерием ^ для коэф­фициента Я2, критерием г для коэффициента при х и критерием / для коэф­

фициента корреляции между х и у в парной регрессионной модели.

Начнем с последнего из них.

^тестдля коэффициента корреляции

(3.65)

В разделе 1.8 мы определили выборочный коэффициент корреляции для двух переменных х и у:

Соу {х,у)

Даже если переменные х и у вообще не коррелированы и теоретический коэф­фициент корреляции р равен нулю, вы будете связаны известным ограниче­нием и неизбежно получите в расчетах некоторую величину выборочного ко­эффициента корреляции. Для конкретной выборки г может точно равнять­ся нулю только чисто случайно, и можно ли утверждать, что значение г дей­ствительно указывает на наличие зависимости, или же оно появилось случай­но?

Как обычно, ответом будет формулирование нулевой гипотезы о том, что зависимости нет, а затем — попытка ее опровергнуть.

Для проверки гипоте­тической линейной зависимеетаптежду х и у, т. е. единственного типа зависи­мости, который будет рассматриваться в данной книге, справедлива следую­щая процедура.

Первый шаг состоит в вычислении /-статистики для г:

(3.66)

Выбрав уровень значимости, скажем, в 5%, вы находите критическое значе­ние /с (п — 2) степенями свободы. Если величина / превышает его критичес­кое значение (в положительную или отрицательную сторону), вы отклоняете нулевую гипотезу о том, что р = 0, и заключаете, что нашли линейную зави­симость (положительную или отрицательную).

Доказательство этого вам уже знакомо. Если нулевая гипотеза верна, то величина / будет превышать его критическое значение (в положительную или отрицательную сторону) только в 5% случаев.

Это означает, что при выпол­нении проверки вероятность допущения ошибки I рода, отклоняющей нуле­вую гипотезу, когда она фактически верна, составляет 5%.

Возможно, что риск допущения такой ошибки в 5% случаев слишком велик для вас. Тогда вы можете сократить степень риска, осуществляя расчеты при уров­не значимости в 1%. Критическое значение / теперь будет выше, чем до сих пор, поэтому вам потребуется более высокая (положительная или отрицательная) /-статистика для отклонения нулевой гипотезы, а это означает, что вам потре­буется более высокое значение г.

Обоснованность этого /-теста зависит от того, удовлетворяют ли у и х неко­торым условиям. Достаточно будет, чтобы величина у была связана с величи­ной х с помощью модели парной регрессии рассматриваемого типа. Данный тест

справедлив только для нулевой гипотезы об отсутствии зависимости. Если вы хотите проверить гипотезу о том, что теоретический коэффициент корреля­ции вместо нуля равен некоторому другому значению, то должны будете ис­пользовать более сложную процедуру.

Зависимость между критериями

Мы увидим, что в случае парного регрессионного анализа (и только парно­го регрессионного анализа) /-критерий для гипотезы р = О, F-критерий для коэффициента R2 и /-критерий для гипотезы р = 0 эквивалентны друг другу. Мы начнем с определения зависимости между первыми двумя тестами.

В разделе 2.7 было показано, что коэффициент Л2 может интерпретировать­ся как квадрат коэффициента корреляции между у и у9 то есть г2« . Теперь, в случае парной регрессии, у является линейной функцией х, поэтому коэф­фициент корреляции между у и у должен совпадать с коэффициентом корре­ляции между х и у, то есть с г (см. упражнение 1.5). Следовательно, в парном регрессионном анализе (и только в парном регрессионном анализе) R2 дол­жен быть равен квадрату коэффициента корреляции между х и у. Мы докажем это, непосредственно начиная с уравнения (2.46), т. е. с определения коэф­фициента R2:

2 _ Vаг0 '

поскольку Var (у) = Var (а + bx) = b2 Var (x).

Делая замену для b, получим:

2 = fCov(jc^)]2 Уаг(х) = Cov(х,у)2 { Var(x) J VarOO Var(x)Var(>0'

Из уравнений (3.61) и (3.66) можно видеть, что /'-статистика для коэффи­циента R2 является в точности квадратом /-статистики для г . Как и следовало ожидать, критическое значение F будет равно квадрату критического значения /-статистики при любом уровне значимости, и эти два теста всегда дают один и тот же результат. Другими словами, коэффициент корреляции между х и у будет указывать на значимую зависимость, если и только если уровень R2 в регрес­сии между у и х будет говорить о такой зависимости.

Более того, можно показать, что величина b будет значимо отличаться от нуля при использовании /-теста, если и только если F-тест значим при данном уров­не значимости. Используя тот факт, что Var (у) равняется £2Var(x), и оба оп­ределения коэффициента R2 в уравнениях (2.46) и (2.47), мы можем перепи­сать выражение для стандартной ошибки величины b:

/|Л I Var (е) J Var(e) .1 1 - R2 C0(3) = l(n-2)Var(x) = 4

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — M.: ИНФРА-М, — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме 3.11. Взаимосвязи между критериями в парном регрессионном анализе:

  1. 12. Взаимосвязь между Г-критерием общего качества регрессии и критерием для коэффициента наклона в парном регрессионном анализе
  2. Корреляционный и регрессионный анализ
  3. 2. ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
  4. 5. МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
  5. 1.ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
  6. 3.МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
  7. § 16.8. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ В ЛИНЕЙНОМ РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ
  8. 3.6.1. Взаимосвязь между финансовыми коэффициентами
  9. 65. ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ ВАЛЮТНЫМ И ФОНДОВЫМ РЫНКОМ
  10. 65. ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ ВАЛЮТНЫМ И ФОНДОВЫМ РЫНКОМ
  11. 65. ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ ВАЛЮТНЫМ И ФОНДОВЫМ РЫНКОМ
  12. Взаимосвязь между ценой облигации, купонной выплатой, ставкой дисконта и сроком погашения
  13. 1.6.1 Взаимосвязь между системами электронной обработки данных и этой книгой
  14. § 15.5. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УРОВНЕМ РИСКА ИНВЕСТИЦИЙ И ТРЕБУЕМОЙ НОРМОЙ ПРИБЫЛИ
  15. § 6. Статистические взаимосвязи и их анализ
  16. 3.4. Обобщение данных бухгалтерского учета. Взаимосвязь между счетами и бухгалтерским балансом