2.10. Односторонние Г-критерии
Я0: р2 = р«,я1:р2 = р12
В этом случае по каким-то причинам существуют только два возможных истинных значения коэффициента при X, равных и р'2. Для определенности допустим, что р2 больше, чем р^.
Предположим, что мы хотим проверить гипотезу Я0 при 5%-ном уровне значимости и используем для этого обычную процедуру, которая уже рассматривалась в этой главе. Мы находим границы для верхнего и нижнего 2,5%-ных «хвостов» /-распределения, считая, что Я0 верна, обозначив их как А и В на рис. 2.10, и гипотеза Я0 отклоняется, если коэффициент регрессии Ь2 оказывается левее точки А или правее точки В. Далее, если значение Ь2 находится справа от В, то оно намного лучше совместимо с гипотезой Я,, чем с гипотезой Я0; вероятность его нахождения справа от В, если истинна Я,, намного больше, чем при истинности гипотезы Я0. Здесь у нас не должно быть сомнений в том, чтобы отклонить гипотезу Я0.
Следовательно, мы делаем вывод, что гипотеза Я, верна.Если, однако, Ь2 находится слева от Л, то используемая процедура проверки приведет нас к неверному заключению. Последняя требует отклонить гипотезу Я0 и, следовательно, принять гипотезу Яр несмотря на то, что при истинности гипотезы Я, вероятность нахождения Ь2 слева от А ничтожно мала. Мы даже не построили график функции плотности вероятности, соответствующей гипотезе Н{. Если такое значение Ь2 получается только раз на миллион случаев при истинности Я,, но в 2,5% случаев при истинности Я0, то здесь намного логичнее считать, что истинной является гипотеза Я0. Конечно, в од-
 Рисунок 2.10. Распределение величины Ь2 в соответствии с гипотезами Н0 и Н, |
ном случае на миллион вы сделаете ошибку, но в остальных случаях вы будет: правы. Следовательно, мы будем отклонять #0, только если Ь2 оказывается ні верхнем 2,5%-ном «хвосте» распределения, т.е. справа от В. Это означает, чт: теперь мы выполняем проверку гипотезы с односторонним критерием, сократив в результате вероятность допустить ошибку Ірода до 2,5%. Поскольку уровень значимости определен как вероятность допустить ошибку I рода, то Ог теперь также составляет 2,5%.
Как уже отмечалось, экономисты обычно предпочитают проверку гипоте: с 5%- и 1%-ным уровнями значимости проверкам с 2,5%-ным уровнем значимости. Если вы хотите провести проверку с 5%-ным уровнем значимости, то вы должны переместить точку В влево так, чтобы получить 5% вероятности «хвосте» распределения и увеличить вероятность допустить ошибку I рода до 5%.
{Вопрос: Почему намеренно выбирается увеличение вероятности допустит» ошибку I рода? Ответ: потому что одновременно сокращается вероятносг* допустить ошибку II рода, т.е.
вероятность того, что нулевая гипотеза не будг отклонена, когда она является ложной. В большинстве случаев нулевая гипотеза состоит в том, что соответствующий коэффициент равен нулю, и вы пытаетесь опровергнуть это, показав, что рассматриваемая переменная действительно имеет влияние. В такой ситуации при выборе одностороннего критерия вы уменьшаете риск не отвергнуть ложную нулевую гипотезу, в то врем? как вероятность ошибки I рода сохраняется на 5%-ном уровне.)Если стандартное отклонение величины Ь2 известно (что практически маловероятно), а распределение нормально, то точка Я будет находиться в ^стандартных отклонениях вправо от Р^, где г определяется из соотношение А(г) = 0,9500 по табл. А.1. Соответствующее значение для і равно 1,64. Если стандартное отклонение неизвестно и оценивается как стандартная ошибка величины Ь2, то мы должны использовать /-распределение; можно найти критическое значение для / по табл. А.2 для соответствующего количества степеней свободы в колонке, относящейся к 5%.
Аналогично, если вы хотите выполнить проверку с уровнем значимості' 1%, то вы перемещаете В вправо до той точки, где «хвост» распределения содержит 1% вероятности. Если вам пришлось вычислить стандартную ошибку величины Ь2 на основе выборочных данных, то нужно найти критическое значение для t в колонке, соответствующей 1%.
В проведенном обсуждении мы допустили, что р'2 больше, чем р^. Очевидно. что если оно будет меньше р^, то можно использовать ту же самую логику 1ля проведения односторонней проверки, выбрав левый «хвост» распределения в качестве критической области гипотезы Я0 и отбросив правый «хвост».
Мощность критерия
В данном конкретном случае мы можем вычислить вероятность допустить ошибку II рода, т.е. принять ложную гипотезу. Предположим, что мы приняли ложную гипотезу Я0: Р2 = р^ и что на самом деле верна альтернативная гипотеза Я,: р2 = Р'2.
Если мы используем двусторонний критерий, то мы не сможем отвергнуть гипотезу Я0, если Ь2 находится в интервале АВ на рис. 2.11. Так .р°2Мы рассмотрели случай, когда альтернативная гипотеза включала конкретное гипотетическое значение р'2 (при Р'2 больше Р^). Вполне понятно, что логика, которая привела нас к использованию одностороннего критерия,
| Функция плотности вероятности Ь2
(3^, указания какого-либо конкретного значения. Мы по-прежнему хотели бы исключить левый «хвост» распределения области непринятия гипотезы, так как низкое значение для Ь2 более вероя--1 но получить при гипотезе Я0: [32 = [32, чем при гипотезе Я,: (3? > (З1^, а следовательно, это будет свидетельствовать в пользу гипотезы Я0, а не против нес Поэтому мы вновь предпочтем односторонний критерий проверки гипоте:.* ] двустороннему, рассматривая правый «хвост» распределения как область и: принятия гипотезы. Отметим, что, так как (32 не определено, у нас теперь нг I возможности вычислить мощность такого критерия. Мы, тем не менее, мо жем быть уверены, что мощность одностороннего критерия будет больше, Чс у соответствующего двустороннего критерия. Я0:(32 =(3°2, Я,:£32 < (3°2 Аналогичным образом, если альтернативная гипотеза имеет вид Я,: (37 < ($', то мы предпочтем проверку, основанную на одностороннем критерии, и: пользующем левый «хвост» распределения в качестве области отклонения гипотезы. Обоснование применения одностороннего критерия Использование одностороннего критерия должно быть обосновано с по I мощью теории, здравого смысла или предшествующего опыта. При проведении такого обоснования нужна осторожность, чтобы не исключить возмол ность правильности нулевой гипотезы. Предположим, вы пытаетесь связа:. I расходы семьи на покупку одежды с ее доходом. Вы, конечно, ожидаете обн; ружить здесь значимую положительную связь, если выборка достаточно вели ка. Но вы не должны утверждать, что на основе теории или здравого смысл: ] коэффициент данной зависимости должен быть положительным. Такое ут верждение было бы слишком сильным, поскольку оно исключает из рассмо: рения нулевую гипотезу, заключающуюся в отсутствии связи, и становится невозможным провести соответствующий тест. Вместо этого нужно сказат: что на основе теории и здравого смысла вы исключаете возможность того, чт: доход имеет отрицательное влияние. Это сохраняет возможность того, что сс- ответствующее влияние отсутствует, а альтернативой является положительное ] влияние. Проверки с использованием одностороннего критерия очень важны в пра» тической эконометрике. Как мы уже видели, обычным путем установление того, что независимая переменная действительно оказывает влияние на завис»- мую переменную, является определение нулевой гипотезы Я0: (32 = 0 и попьт- затем ее опровергнуть. Очень часто гипотеза оказывается достаточно общей чгобы утверждать-, что если доказывает влияние на У, то это влияние имег- определенную направленность. Если у нас есть достаточно веские причин* считать, что это влияние, например, положительно, то можно использовав альтернативную гипотезу Я,: (37 >0 вместо более общей гипотезы Я,: [32 * 0. Заявляется преимуществом, поскольку критическое значение / для отклонение гипотезы Я0 при проверке по одностороннему критерию будет меньшим, чт: облегчает отклонение нулевой гипотезы и установление наличия зависимости
Ьммерь/ При оценивании регрессии для функции заработка в табл. 2.6 мы имели 538 степеней свободы. При использовании 0,1%-ного уровня значимости и двустороннем критерии критическое значение приблизительно равно 3,31. Если мы воспользуемся тем фактом, что продолжительность обучения не может здесь иметь отрицательного коэффициента, то можно применить односторонний критерий, и критическое значение уменьшается примерно до 3,106. В данном случае г-статистика равна 10,59, и поэтому сделанное уточнение не имеет значения. Отрицательная оценка коэффициента настолько велика по отношению к ее стандартной ошибке, что мы отклоняем нулевую гипотезу независимо от того, на каком критерии основывается проверка гипотезы — двустороннем или одностороннем. В примере зависимости между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы, возможность использования для проверки одностороннего критерия имеет смысл. Нулевая гипотеза состояла в том, что инфляция, вызванная ростом заработной платы, полностью отражена в общей инфляции, и мы имеем Я0: |32 =1. Было бы целесообразно принять альтернативную гипотезу о том, что р2 меньше единицы в результате повышения производительности труда, которое может привести к более низкому уровню обшей инфляции по сравнению с инфляцией, вызванной ростом заработной платы, т.е. Я,: р2 < 1. В результате расчетов получим коэффициент регрессии, равный 0,82, и стандартную ошибку 0,10, тогда /-статистика для нулевой гипотезы составляет -1,80. Это значение не столь велико, чтобы отвергнуть гипотезу #0 при 5%-ном уровне значимости и использовании двустороннего критерия (критическое значение составляет 2,10). Однако если мы используем односторонний критерий проверки, то критическое значение уменьшится до 1,73, и теперь мы можем отклонить нулевую гипотезу. Другими словами, можно сделать вывод о том, что общая инфляция будет значимо ниже инфляции, вызванной ростом заработной платы. гхгжиения >1} Поясните, можно ли было бы воспользоваться односторонним критерием вместо двустороннего в упражнении 2.15. Если вы считаете, что односторонние тесты в данном случае оправданны, то выполните их и укажите, меняется ли что-либо при их использовании. ^Х Поясните, можно ли было бы воспользоваться односторонним критерием вместо двустороннего в упражнении 2.16. Если вы считаете, что односторонние тесты в данном случае оправданны, то выполните их и укажите, меняется ли что-либо при их использовании. Поясните, можно ли было бы воспользоваться односторонним критерием вместо двустороннего в упражнении 2.17. Если вы считаете, что односторонние тесты в данном случае оправданны, то выполните их и укажите, меняется ли что-либо при их использовании.
•Ж Поясните, можно ли было бы воспользоваться односторонним критерием вместо двустороннего в упражнении 2.18. Если вы считаете, что односторонние тесты в эконометрику в данном случае оправданны, то выполните их и укажите, меняется ли что-либс при их использовании.
Еще по теме 2.10. Односторонние Г-критерии:
-
Государственное регулирование экономики -
Институциональная экономика -
Информационные технологии в экономике -
История экономических учений -
Макроэкономика -
Микроэкономика -
Учебники по экономике для школьников -
Эконометрика -
Экономика -
Экономика предприятия -
Экономическая теория -
-
Аудит. Бухгалтерский учет -
Банковское дело -
Бизнес -
История -
Маркетинг и менеджмент -
Налоги и налогообложение -
Психология -
Социология и Политология -
Управление персоналом и Контроллинг -
Финансы -
Ценные бумаги -
Шпаргалки -
Экономика -
|
