<<
>>

2.10. Односторонние Г-критерии

В нашем обсуждении /-критериев мы начали с нулевой гипотезы Я0: р2 = р^ и провели проверку возможности ее отклонения при коэффициенте регрес­сии, равном Ь2.
Если бы мы отклонили эту гипотезу, то косвенно приняли бы альтернативную гипотезу Я,: р2 * р^. До сих пор альтернативная гипотеза была лишь простым отрицанием нулевой гипотезы. Если, однако, мы можем сформулировать альтернативную гипотезу более конкретно, то мы должны и усовершенствовать процедуру проверки. Проведем исследование трех случа­ев: первый случай — весьма частный, когда существует единственное альтер­нативное истинное значение Р2, которое мы обозначим Р2; второй случай — если р2 не равно р^, то оно должно быть больше Р^; и третий случай — если величина Р2 не равна Р^, то она должна быть меньше р^.

Я0: р2 = р«,я12 = р12

В этом случае по каким-то причинам существуют только два возможных истинных значения коэффициента при X, равных и р'2. Для определенно­сти допустим, что р2 больше, чем р^.

Предположим, что мы хотим проверить гипотезу Я0 при 5%-ном уровне значимости и используем для этого обычную процедуру, которая уже рассмат­ривалась в этой главе. Мы находим границы для верхнего и нижнего 2,5%-ных «хвостов» /-распределения, считая, что Я0 верна, обозначив их как А и В на рис. 2.10, и гипотеза Я0 отклоняется, если коэффициент регрессии Ь2 оказыва­ется левее точки А или правее точки В. Далее, если значение Ь2 находится справа от В, то оно намного лучше совместимо с гипотезой Я,, чем с гипоте­зой Я0; вероятность его нахождения справа от В, если истинна Я,, намного больше, чем при истинности гипотезы Я0. Здесь у нас не должно быть сомне­ний в том, чтобы отклонить гипотезу Я0.

Следовательно, мы делаем вывод, что гипотеза Я, верна.

Если, однако, Ь2 находится слева от Л, то используемая процедура провер­ки приведет нас к неверному заключению. Последняя требует отклонить ги­потезу Я0 и, следовательно, принять гипотезу Яр несмотря на то, что при ис­тинности гипотезы Я, вероятность нахождения Ь2 слева от А ничтожно мала. Мы даже не построили график функции плотности вероятности, соответству­ющей гипотезе Н{. Если такое значение Ь2 получается только раз на миллион случаев при истинности Я,, но в 2,5% случаев при истинности Я0, то здесь намного логичнее считать, что истинной является гипотеза Я0. Конечно, в од-

Рисунок 2.10. Распределение величины Ь2 в соответствии с гипотезами Н0 и Н,

ном случае на миллион вы сделаете ошибку, но в остальных случаях вы будет: правы. Следовательно, мы будем отклонять #0, только если Ь2 оказывается ні верхнем 2,5%-ном «хвосте» распределения, т.е. справа от В. Это означает, чт: теперь мы выполняем проверку гипотезы с односторонним критерием, сокра­тив в результате вероятность допустить ошибку Ірода до 2,5%. Поскольку уро­вень значимости определен как вероятность допустить ошибку I рода, то Ог теперь также составляет 2,5%.

Как уже отмечалось, экономисты обычно предпочитают проверку гипоте: с 5%- и 1%-ным уровнями значимости проверкам с 2,5%-ным уровнем значи­мости. Если вы хотите провести проверку с 5%-ным уровнем значимости, то вы должны переместить точку В влево так, чтобы получить 5% вероятности «хвосте» распределения и увеличить вероятность допустить ошибку I рода до 5%.

{Вопрос: Почему намеренно выбирается увеличение вероятности допустит» ошибку I рода? Ответ: потому что одновременно сокращается вероятносг* допустить ошибку II рода, т.е.

вероятность того, что нулевая гипотеза не будг отклонена, когда она является ложной. В большинстве случаев нулевая гипо­теза состоит в том, что соответствующий коэффициент равен нулю, и вы пы­таетесь опровергнуть это, показав, что рассматриваемая переменная действи­тельно имеет влияние. В такой ситуации при выборе одностороннего крите­рия вы уменьшаете риск не отвергнуть ложную нулевую гипотезу, в то врем? как вероятность ошибки I рода сохраняется на 5%-ном уровне.)

Если стандартное отклонение величины Ь2 известно (что практически ма­ловероятно), а распределение нормально, то точка Я будет находиться в ^стан­дартных отклонениях вправо от Р^, где г определяется из соотношение А(г) = 0,9500 по табл. А.1. Соответствующее значение для і равно 1,64. Если стандартное отклонение неизвестно и оценивается как стандартная ошибка величины Ь2, то мы должны использовать /-распределение; можно найти кри­тическое значение для / по табл. А.2 для соответствующего количества степе­ней свободы в колонке, относящейся к 5%.

Аналогично, если вы хотите выполнить проверку с уровнем значимості' 1%, то вы перемещаете В вправо до той точки, где «хвост» распределения со­держит 1% вероятности. Если вам пришлось вычислить стандартную ошибку величины Ь2 на основе выборочных данных, то нужно найти критическое зна­чение для t в колонке, соответствующей 1%.

В проведенном обсуждении мы допустили, что р'2 больше, чем р^. Очевид­но. что если оно будет меньше р^, то можно использовать ту же самую логику 1ля проведения односторонней проверки, выбрав левый «хвост» распределе­ния в качестве критической области гипотезы Я0 и отбросив правый «хвост».

Мощность критерия

В данном конкретном случае мы можем вычислить вероятность допустить ошибку II рода, т.е. принять ложную гипотезу. Предположим, что мы приняли ложную гипотезу Я0: Р2 = р^ и что на самом деле верна альтернативная гипо­теза Я,: р2 = Р'2.

Если мы используем двусторонний критерий, то мы не смо­жем отвергнуть гипотезу Я0, если Ь2 находится в интервале АВ на рис. 2.11. Так .р°2

Мы рассмотрели случай, когда альтернативная гипотеза включала конк­ретное гипотетическое значение р'2 (при Р'2 больше Р^). Вполне понятно, что логика, которая привела нас к использованию одностороннего критерия,

Функция плотности вероятности Ь2

(3^, указания какого-либо конкретного значения.

Мы по-прежнему хотели бы исключить левый «хвост» распределения области непринятия гипотезы, так как низкое значение для Ь2 более вероя--1 но получить при гипотезе Я0: [32 = [32, чем при гипотезе Я,: (3? > (З1^, а следова­тельно, это будет свидетельствовать в пользу гипотезы Я0, а не против нес Поэтому мы вновь предпочтем односторонний критерий проверки гипоте:.* ] двустороннему, рассматривая правый «хвост» распределения как область и: принятия гипотезы. Отметим, что, так как (32 не определено, у нас теперь нг I возможности вычислить мощность такого критерия. Мы, тем не менее, мо жем быть уверены, что мощность одностороннего критерия будет больше, Чс у соответствующего двустороннего критерия.

Я0:(32 =(3°2, Я,:£32 < (3°2

Аналогичным образом, если альтернативная гипотеза имеет вид Я,: (37 < ($', то мы предпочтем проверку, основанную на одностороннем критерии, и: пользующем левый «хвост» распределения в качестве области отклонения ги­потезы.

Обоснование применения одностороннего критерия

Использование одностороннего критерия должно быть обосновано с по I мощью теории, здравого смысла или предшествующего опыта. При проведе­нии такого обоснования нужна осторожность, чтобы не исключить возмол ность правильности нулевой гипотезы. Предположим, вы пытаетесь связа:. I расходы семьи на покупку одежды с ее доходом. Вы, конечно, ожидаете обн; ружить здесь значимую положительную связь, если выборка достаточно вели ка. Но вы не должны утверждать, что на основе теории или здравого смысл: ] коэффициент данной зависимости должен быть положительным. Такое ут верждение было бы слишком сильным, поскольку оно исключает из рассмо: рения нулевую гипотезу, заключающуюся в отсутствии связи, и становится невозможным провести соответствующий тест. Вместо этого нужно сказат: что на основе теории и здравого смысла вы исключаете возможность того, чт: доход имеет отрицательное влияние. Это сохраняет возможность того, что сс- ответствующее влияние отсутствует, а альтернативой является положительное ] влияние.

Проверки с использованием одностороннего критерия очень важны в пра» тической эконометрике. Как мы уже видели, обычным путем установление того, что независимая переменная действительно оказывает влияние на завис»- мую переменную, является определение нулевой гипотезы Я0: (32 = 0 и попьт- затем ее опровергнуть. Очень часто гипотеза оказывается достаточно общей чгобы утверждать-, что если доказывает влияние на У, то это влияние имег- определенную направленность. Если у нас есть достаточно веские причин* считать, что это влияние, например, положительно, то можно использовав альтернативную гипотезу Я,: (37 >0 вместо более общей гипотезы Я,: [32 * 0. За­является преимуществом, поскольку критическое значение / для отклонение гипотезы Я0 при проверке по одностороннему критерию будет меньшим, чт: облегчает отклонение нулевой гипотезы и установление наличия зависимости

Ьммерь/

При оценивании регрессии для функции заработка в табл. 2.6 мы имели 538 степеней свободы. При использовании 0,1%-ного уровня значимости и двустороннем критерии критическое значение приблизительно равно 3,31. Если мы воспользуемся тем фактом, что продолжительность обучения не мо­жет здесь иметь отрицательного коэффициента, то можно применить одно­сторонний критерий, и критическое значение уменьшается примерно до 3,106. В данном случае г-статистика равна 10,59, и поэтому сделанное уточне­ние не имеет значения. Отрицательная оценка коэффициента настолько ве­лика по отношению к ее стандартной ошибке, что мы отклоняем нулевую ги­потезу независимо от того, на каком критерии основывается проверка гипоте­зы — двустороннем или одностороннем.

В примере зависимости между общей инфляцией и инфляцией, вызванной ростом заработной платы, возможность использования для проверки одно­стороннего критерия имеет смысл. Нулевая гипотеза состояла в том, что инф­ляция, вызванная ростом заработной платы, полностью отражена в общей инфляции, и мы имеем Я0: |32 =1. Было бы целесообразно принять альтерна­тивную гипотезу о том, что р2 меньше единицы в результате повышения про­изводительности труда, которое может привести к более низкому уровню об­шей инфляции по сравнению с инфляцией, вызванной ростом заработной платы, т.е. Я,: р2 < 1. В результате расчетов получим коэффициент регрессии, равный 0,82, и стандартную ошибку 0,10, тогда /-статистика для нулевой ги­потезы составляет -1,80. Это значение не столь велико, чтобы отвергнуть ги­потезу #0 при 5%-ном уровне значимости и использовании двустороннего критерия (критическое значение составляет 2,10). Однако если мы использу­ем односторонний критерий проверки, то критическое значение уменьшится до 1,73, и теперь мы можем отклонить нулевую гипотезу. Другими словами, можно сделать вывод о том, что общая инфляция будет значимо ниже инфля­ции, вызванной ростом заработной платы.

гхгжиения

>1} Поясните, можно ли было бы воспользоваться односторонним критерием вмес­то двустороннего в упражнении 2.15. Если вы считаете, что односторонние тесты в данном случае оправданны, то выполните их и укажите, меняется ли что-либо при их использовании.

^Х Поясните, можно ли было бы воспользоваться односторонним критерием вмес­то двустороннего в упражнении 2.16. Если вы считаете, что односторонние тесты в данном случае оправданны, то выполните их и укажите, меняется ли что-либо при их использовании.

Поясните, можно ли было бы воспользоваться односторонним критерием вмес­то двустороннего в упражнении 2.17. Если вы считаете, что односторонние тесты в данном случае оправданны, то выполните их и укажите, меняется ли что-либо при их использовании.

115

•Ж Поясните, можно ли было бы воспользоваться односторонним критерием вмес­то двустороннего в упражнении 2.18. Если вы считаете, что односторонние тесты

в эконометрику

в данном случае оправданны, то выполните их и укажите, меняется ли что-либс при их использовании.

<< | >>

Еще по теме 2.10. Односторонние Г-критерии:

  1. 3.9. Односторонние тесты
  2. 12. Взаимосвязь между Г-критерием общего качества регрессии и критерием для коэффициента наклона в парном регрессионном анализе
  3. ///. Принцип взаимного признания критериев обмена обоснованными (легитимными) — принцип единого критерия.
  4. Критерий гражданственности.
  5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
  6. 4.7.6. Вне критериев
  7. Критерий отбора поставщика.
  8. Критерии дивидендной политики.
  9. КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ
  10. 10 КРИТЕРИЕВ МОТИВИРУЮЩЕЙ ОРГАНИЗАЦИИ ТРУДА