14.2. Регрессионные модели с фиксированным эффектом
Внугригрупповой фиксированный эффект
В первом варианте вычисляются средние значения переменных для каждого респондента, которые вычитаются затеМ из соответствующих значений переменных для данного респондента. Из уравнения (14.4) следует
У=2
Вычитая уравнение (14.6) из уравнения (14.4), получаем
У,, - Ъ = - + 8(' - Т) + е„ - ё,. (14.7)
У=2
Здесь ненаблюдаемый эффект исчезает. Это выражение известно как внут- ригрупповая регрессионная модель (тШп-ягоирь г^геыюп), поскольку она объясняет вариацию зависимой переменной вокруг среднего значения для группы наблюдений, относящихся к данному респонденту.
Возможность решения проблемы ненаблюдаемой неоднородности, как в данном случае, — главный фактор привлекательности панельных данных для исследователей.За проведенное преобразование, однако, приходится заплатить некоторую цену. Во-первых, постоянная Р, и любая из переменных X, которая остается неизменной для каждого респондента, будет исключена Из модели. Исключение постоянного члена из модели может не иметь значения, но потеря объясняющих переменных, которые не изменяются с течением времени, ощутима. Предположим, к примеру, что необходимо найти функцию заработной платы для выборки респондентов, которые уже закончили обучение, и переменная продолжительности обучения длй респондента / в период Г есть Если образование респондента завершено ко времени первого периода, то 5,, будет одинаковым для всех периодов у этого респондента, и 8и - .У, для всех /.
Следовательно, 5",) равно нулю для всех периодов^Если все респонденты закончили обучение к периоду номер один, то - 5/) будет равным нулю для всех / и и Однако невозможно включить в регрессию переменную, значение которой равно нулю для всех наблюдений. В этом случае вместо решения проблемы ненаблюдаемой неоднородности становится невозможным получить оценку коэффициента.Второй проблемой является потенциальное влияние случайного члена. Мы видели в гл. 3, что точность оценок по МНК зависит от сумм квадратов отклонений от средних значений независимых переменных и от дисперсии случайного члена. Анализ осуществлялся в конМксте модели парной регрессии, но он обобщается и для случая множествеинойретрессии. Дисперсия величины (X) - X]) может быть намного меньше дисперсии Х}. В этом случае влияние случайного члена может быть достаточно велико, увеличивая неточность оценок. Ситуация усугубляется в случае пЮявления ошибок измерения, поскольку это ведет к смещению, и это смещение будет тем больше, чем меньше дисперсия объясняющей переменной в сравнении с дисперсией ошибки измерения. ■■ •
Третья проблема заключается в том, что при ликвидации ненаблюдаемого эффекта мы теряем значительное число степеней свободы: мы потеряем одну степень свободы для каждогореспоедейта ввыборке.Если панель сбалансирована, то вместо л Г степеней свободы, как может показаться, мы получим п Т- к. Однако в преобразованной моделичиело степеней свободы сокращается на л по причину, которые будут объяснены хюзже в этом подразделе. Поэтому действительное число степеней свободы будет и( Г-1)-к. Если Г мало, то потери могут быть значительными. Регрессионные программы для модели с фиксированным эффектом автоматически выполняют изменение числа степеней свободы при оценивании с помощью внутригруппового метода.
Фиксированный аффект: модель с первыми разностями
Во второй версии модели с фиксированным эффектом, регрессии с первыми разностями, ненаблюдаемый эффект устраняется с помощью вычитания наблюдения предыдущего периода изнабяюдения текущего периода для всех периодов.
Для респондента / в период / модель может быть записана какк ' ''• + + + (14.8)
■ у=2
Для предыдущего периода зависимость имеет вид
(14.9)
Л-1 »01 + + ^ +
Вычитая уравнение (14.9)" из уравнения (14.8), получаем
к
= X М** + б + е„- е„_1,
(14.10)
и ненаблюдаемая неоднородность вновь исчезает. Тем не менее, остаются другие проблемы. Постоянный член и любая ^переменная, которая остается не- изменной для каждого респондента, исчезают.из модели, и л степеней свободы просто теряются, поскольку теперь для каждого респондента отсутствует наблюдение первого периода. К тому же этот метод перехода к разностям увеличивает автокорреляцию, если е„ удовлетворяет стандартным условиям регрессии. Случайный член для модели с ДУЙ — это (с^- е,м), Для предыдущего периода случайный член равен (е/м - Посколы^ оба этих случайных члена имеют компонент е.м с противоположными знаками, появляется отри - цетельная автокорреляция типа скользящих средних. Хотя, если ги подвержен автокорреляции вида
e» = Peft-l + V«Y> (14.11)
где vlt удовлетворяет стандартным условиям, то случайный член, рассчитанный как скользящее среднее, равен v(.,- (1 - р)егм. Если автокорреляция сильна, то (1 - p)eft_j может быть малой, и поэтому модель с разностями первого порядка может быть более предпочтительной, чем внутригрупповая модель.
Модель с фиксированным эффектом: МНК с фиктивными переменными
В третьей версии модели с фиксированным эффектом, известной как модель LSDV(Least Squares Dummy Variables), ненаблюдаемый эффект отражается непосредственно. Если мы определим совокупность фиктивных переменных А/, где Ai равно единице в случае, если наблюдение относится к респонденту /, и ноль — в противном случае, то модель может быть переписана как
Yit = £ М* +bt + ХМ + Ч- (14.12)
j=2 /=1
Формально ненаблюдаемый эффект рассматривается как коэффициент индивидуальной фиктивной переменной, член аД.
представляет фиксированный эффект для зависимой переменной Yt для данного индивида (это отражает сам термин «модель с фиксированным эффектом»). В такой спецификации модели уже возможно использование МНК.Заметим, что если мы включим фиктивную переменную для каждого респондента в выборке, а тагаке НостоянныЙ член, то вбзникнет совершенная мультиколлинеарносгь, описанная в подразделе 5.2. Чтобы избежать этого, мы можем определить одного из респондентов как эталонную категорию, тогда величина Р[ будет его постоянным членом, а эффект а, будет сдвигом постоянного члена для других респондентов. Однако выбор эталонной категории очень часто является случайным, и поэтому интерпретация коэффициента af в такой спецификации не особенно содержательна. С другой стороны, мы можем Опустить постоянный член Pj и определить фиктивные переменные для всех респондентов, как это было сделано в уравнении (14.2). Тогда а,, становится постоянным членом для каждого из респондентов. Интересно, что, как и в первых двух варианта*Модели С фиксированным эффектом, метод 1Л£>Кработает только для панельных данных. С данными перекрестных выборок фиктивную переменную можно определить для каждого наблюдения, только исчерпав все степени свободы. В этом случае фиктивные переменные обеспечат идеальное по точности, но практически бесполезное оценивание.
Если доступно большое число респондентов, то использование метода LSDVнапрямую достаточно непрактично, поскольку требует введения большого количества фиктивных переменных. Хотя можно показать математически, чтр этот метод тождественен модели с внутригрупповым подходом. Единственная разница состоит в числе использованных степеней свободы. Нетрудно видеть из уравнения (14.2), что если панель сбалансирована, то число степеней свободы равно пТ-к-п. В модели с внутригрупповым подходом изначально кажется, что это число пТ- к, но еще и степеней свободы теряются при преобразовании, ведущем к ликвидации аг
Эквивалентность использования обоих методов говорит о том, что метод /Л/Жведет к тем же самым проблемам. В частности, мы оказываемся неспособными оценить коэффициенты при тех переменных X, которые остаются неизменными для респондента в течение всех периодов. Предположим, что Ху равно для всех наблюдений респондента /. Тогда
(14.13)
/=1
Чтобы убедиться в этом, предположим, что у нас есть четыре индивида и три периода, как показано в табл. 14.1, и рассмотрим наблюдения для индивида номер один. X. равно с1 для каждого наблюдения. Ах равно единице. Все другие фиктивные переменные А равны нулю. Поэтому обе чаети уравнения равные,.
Таблица 14.1. Индивидуальные фиктивные переменные и постоянная величинах
|
Аналогично обе части уравнения равны с2 для наблюдений респондента номер два, то же самое — для оставшихся третьего и четвертого респондентов.
Поэтому существует точная линейная зависимость, связывающая ^ с фиктивными переменными, и, таким образом, модель подвержена совершенной мультиколлинеарности. Поэтому^, не может быть включено в используемую спецификацию модели.
Пример
Для иллюстрации использования модели с фиксированным эффектом мы возвратимся к примеру в разделе 14.1 и используем доступные данные от 1980 до 1996 гг., в совокупности 20 343 наблюдения. В табл. 14.2 показаны дополни-
МНК | Модель с фиксированным эффектом | Модель со случайным эффектом | |||
Женатые | 0,184 (0,007) | 0,106 (0,012) | — | 0,134 (0,010) | — |
Одинокие, но женившиеся в течение 4 лет | 0,096 (0,009) | 0,045 (0,010) | -0,061 (0,008) | 0,060 (0,009) | -0,075 (0,007) |
Одинокие, не женившиеся в течение 4 лет | " | -0,106 (0,012) | -0,134 (0,010) | ||
я* | 0,358 | 0,268 | 0,268 | 0,346 | 0,346 |
ТестОИ/Н | — | — | — | 205,8 | 205,8 |
N | 20,343 | 20,343 | 20,343 | 20,343 | 20,343 |
тельные заработки женатых мужчин и тех мужчин, которые были одинокими на момент опроса, однако женились в течение следующих четырех лет («вскоре женившихся»). Контрольные переменные (не показаны) остаютсянеиз- менными по сравнению с данными раздела 14.1. Первый столбец дает оценку, полученную с помощью простого объединения всех наблюдений И использования МНК с робастными стандартными ошибками. Второй столбец дает оценки модели с фиксированным эффектом с помощью внутригруппового метода, где неженатые мужчины являются эталонной категорией. Третий столбец дает оценки модели с фиксированным эффектом, где эталонной категорией становятся женатые мужчины. Четвертый и пятый столбцы представляют оценки, которые будутобсуждаться веледующем разделе.
Коэффициешы, пощгченные для МНК, достаточно похожи на коэффициенты, полученные в разделе 14.1 для функции заработка в 1988 г. Оценки модели с фиксированным эффектом значительно ниже, что приводит к мысли о том, что коэффициенты МНК были подвержены влиянию ненаблюдаемой неоднородности. Тем не менее, видна та же самая закономерность. Вскоре женившиеся мужчины зарабатывают значительно меньше женатых мужчин. Поэтому обе гипотезы в отношении «выигрыша для женатых» оказываются час- тично верными.
Еще по теме 14.2. Регрессионные модели с фиксированным эффектом:
- 8.5. Фиксированные издержки и сетевые эффекты
- 2.1. Типы данных и регрессионная модель
- 2.2. Предпосылки регрессионной модели с нестохастическими регрессорами
- 12.1. Допущения для регрессионных моделей с временными рядами
- 12.СВОЙСТВА РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ С ВРЕМЕННЫМИ РЯДАМИ
- 18.3. Модель управления запасамиС ФИКСИРОВАННЫМ РИТМОМ ПОСТАВКИ
- 18.2. Модель управления запасамиС ФИКСИРОВАННОЙ ПАРТИЕЙ ПОСТАВКИ
- Модель внутреннего и внешнего равновесия в условиях фиксированного обменного курса. Правило распределения ролей
- Макроэкономическое равновесие в модели “доходы—расходы” и мультипликационный эффект в экономике. Парадокс бережливости
- Вопрос 11. Эффект замены и эффект дохода по Слуцкому и по Хиксу.
- 28. ЭФФЕКТ ДОХОДА И ЭФФЕКТ ЗАМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЦЕНЫ НА РАЗЛИЧНЫЕ ТОВАРЫ
- 80. ЭФФЕКТ ДОХОДА И ЭФФЕКТ ЗАМЕЩЕНИЯ НА РЫНКЕ ТРУДА
- Вопрос 10. Реакция потребителя на изменение цены. Эффект замены и эффект дохода.
- 16 ЭФФЕКТ ДОХОДА И ЭФФЕКТ ЗАМЕЩЕНИЯ