14.2. Регрессионные модели с фиксированным эффектом

Внугригрупповой фиксированный эффект

В первом варианте вычисляются средние значения переменных для каждо­го респондента, которые вычитаются затеМ из соответствующих значений пе­ременных для данного респондента. Из уравнения (14.4) следует

У=2

Вычитая уравнение (14.6) из уравнения (14.4), получаем

У,, - Ъ = - + 8(' - Т) + е„ - ё,. (14.7)

У=2

Здесь ненаблюдаемый эффект исчезает. Это выражение известно как внут- ригрупповая регрессионная модель (тШп-ягоирь г^геыюп), поскольку она объясняет вариацию зависимой переменной вокруг среднего значения для группы наблюдений, относящихся к данному респонденту.

За проведенное преобразование, однако, приходится заплатить некоторую цену. Во-первых, постоянная Р, и любая из переменных X, которая остается неизменной для каждого респондента, будет исключена Из модели. Исключе­ние постоянного члена из модели может не иметь значения, но потеря объяс­няющих переменных, которые не изменяются с течением времени, ощутима. Предположим, к примеру, что необходимо найти функцию заработной платы для выборки респондентов, которые уже закончили обучение, и переменная продолжительности обучения длй респондента / в период Г есть Если обра­зование респондента завершено ко времени первого периода, то 5,, будет оди­наковым для всех периодов у этого респондента, и 8_и - .У, для всех /.

Второй проблемой является потенциальное влияние случайного члена. Мы видели в гл. 3, что точность оценок по МНК зависит от сумм квадратов отклонений от средних значений независимых переменных и от дисперсии случайного члена. Анализ осуществлялся в конМксте модели парной регрес­сии, но он обобщается и для случая множествеинойретрессии. Дисперсия ве­личины (X) - X]) может быть намного меньше дисперсии Х_}. В этом случае влияние случайного члена может быть достаточно велико, увеличивая неточ­ность оценок. Ситуация усугубляется в случае пЮявления ошибок измерения, поскольку это ведет к смещению, и это смещение будет тем больше, чем мень­ше дисперсия объясняющей переменной в сравнении с дисперсией ошибки измерения. ■■ •

Третья проблема заключается в том, что при ликвидации ненаблюдаемого эффекта мы теряем значительное число степеней свободы: мы потеряем одну степень свободы для каждогореспоедейта ввыборке.Если панель сбаланси­рована, то вместо л Г степеней свободы, как может показаться, мы получим п Т- к. Однако в преобразованной моделичиело степеней свободы сокращает­ся на л по причину, которые будут объяснены хюзже в этом подразделе. По­этому действительное число степеней свободы будет и( Г-1)-к. Если Г мало, то потери могут быть значительными. Регрессионные программы для модели с фиксированным эффектом автоматически выполняют изменение числа сте­пеней свободы при оценивании с помощью внутригруппового метода.

Фиксированный аффект: модель с первыми разностями

Во второй версии модели с фиксированным эффектом, регрессии с первы­ми разностями, ненаблюдаемый эффект устраняется с помощью вычитания наблюдения предыдущего периода изнабяюдения текущего периода для всех периодов.

к ' ''• + + + (14.8)

■ у=2

Для предыдущего периода зависимость имеет вид

(14.9)

Л-1 »01 + ⁺ ^ ⁺

Вычитая уравнение (14.9)" из уравнения (14.8), получаем

к

= X М** + б + е„- е„_1,

(14.10)

и ненаблюдаемая неоднородность вновь исчезает. Тем не менее, остаются дру­гие проблемы. Постоянный член и любая ^переменная, которая остается не- изменной для каждого респондента, исчезают.из модели, и л степеней свобо­ды просто теряются, поскольку теперь для каждого респондента отсутствует наблюдение первого периода. К тому же этот метод перехода к разностям уве­личивает автокорреляцию, если е„ удовлетворяет стандартным условиям ре­грессии. Случайный член для модели с ДУ_Й — это (с^- е,_м), Для предыдущего периода случайный член равен (е_/м - Посколы^ оба этих случайных члена имеют компонент е._м с противоположными знаками, появляется отри - цетельная автокорреляция типа скользящих средних. Хотя, если г_и подвержен автокорреляции вида

^e» = P^eft-l ^{+ V}«Y> (14.11)

где v_lt удовлетворяет стандартным условиям, то случайный член, рассчитан­ный как скользящее среднее, равен v₍.,- (1 - р)е_гм. Если автокорреляция силь­на, то (1 - p)e_ft_j может быть малой, и поэтому модель с разностями первого порядка может быть более предпочтительной, чем внутригрупповая модель.

Модель с фиксированным эффектом: МНК с фиктивными переменными

В третьей версии модели с фиксированным эффектом, известной как мо­дель LSDV(Least Squares Dummy Variables), ненаблюдаемый эффект отражает­ся непосредственно. Если мы определим совокупность фиктивных перемен­ных А/, где A_i равно единице в случае, если наблюдение относится к респон­денту /, и ноль — в противном случае, то модель может быть переписана как

Y_it = £ М* ^{+bt +} ХМ + Ч- (14.12)

j=2 /=1

Формально ненаблюдаемый эффект рассматривается как коэффициент индивидуальной фиктивной переменной, член аД.

Заметим, что если мы включим фиктивную переменную для каждого рес­пондента в выборке, а тагаке НостоянныЙ член, то вбзникнет совершенная мультиколлинеарносгь, описанная в подразделе 5.2. Чтобы избежать этого, мы можем определить одного из респондентов как эталонную категорию, то­гда величина Р[ будет его постоянным членом, а эффект а, будет сдвигом по­стоянного члена для других респондентов. Однако выбор эталонной катего­рии очень часто является случайным, и поэтому интерпретация коэффициен­та a_f в такой спецификации не особенно содержательна. С другой стороны, мы можем Опустить постоянный член Pj и определить фиктивные перемен­ные для всех респондентов, как это было сделано в уравнении (14.2). Тогда а,, становится постоянным членом для каждого из респондентов. Интересно, что, как и в первых двух варианта*Модели С фиксированным эффектом, метод 1Л£>Кработает только для панельных данных. С данными перекрестных выбо­рок фиктивную переменную можно определить для каждого наблюдения, только исчерпав все степени свободы. В этом случае фиктивные переменные обеспечат идеальное по точности, но практически бесполезное оценивание.

Если доступно большое число респондентов, то использование метода LSDVнапрямую достаточно непрактично, поскольку требует введения боль­шого количества фиктивных переменных. Хотя можно показать математичес­ки, чтр этот метод тождественен модели с внутригрупповым подходом. Един­ственная разница состоит в числе использованных степеней свободы. Нетруд­но видеть из уравнения (14.2), что если панель сбалансирована, то число степеней свободы равно пТ-к-п. В модели с внутригрупповым подходом изначально кажется, что это число пТ- к, но еще и степеней свободы теряют­ся при преобразовании, ведущем к ликвидации а_г

Эквивалентность использования обоих методов говорит о том, что метод /Л/Жведет к тем же самым проблемам. В частности, мы оказываемся неспо­собными оценить коэффициенты при тех переменных X, которые остаются неизменными для респондента в течение всех периодов. Предположим, что Ху равно для всех наблюдений респондента /. Тогда

(14.13)

/=1

Чтобы убедиться в этом, предположим, что у нас есть четыре индивида и три периода, как показано в табл. 14.1, и рассмотрим наблюдения для индиви­да номер один. X. равно с₁ для каждого наблюдения. А_х равно единице. Все другие фиктивные переменные А равны нулю. Поэтому обе чаети уравнения равные,.

Аналогично обе части уравнения равны с₂ для наблюдений респондента но­мер два, то же самое — для оставшихся третьего и четвертого респондентов.

Поэтому существует точная линейная зависимость, связывающая ^ с фик­тивными переменными, и, таким образом, модель подвержена совершенной мультиколлинеарности. Поэтому^, не может быть включено в используемую спецификацию модели.

Пример

Для иллюстрации использования модели с фиксированным эффектом мы возвратимся к примеру в разделе 14.1 и используем доступные данные от 1980 до 1996 гг., в совокупности 20 343 наблюдения. В табл. 14.2 показаны дополни-

тельные заработки женатых мужчин и тех мужчин, которые были одинокими на момент опроса, однако женились в течение следующих четырех лет («вско­ре женившихся»). Контрольные переменные (не показаны) остаютсянеиз- менными по сравнению с данными раздела 14.1. Первый столбец дает оценку, полученную с помощью простого объединения всех наблюдений И использо­вания МНК с робастными стандартными ошибками. Второй столбец дает оценки модели с фиксированным эффектом с помощью внутригруппового метода, где неженатые мужчины являются эталонной категорией. Третий столбец дает оценки модели с фиксированным эффектом, где эталонной ка­тегорией становятся женатые мужчины. Четвертый и пятый столбцы пред­ставляют оценки, которые будутобсуждаться веледующем разделе.

Коэффициешы, пощгченные для МНК, достаточно похожи на коэффици­енты, полученные в разделе 14.1 для функции заработка в 1988 г. Оценки мо­дели с фиксированным эффектом значительно ниже, что приводит к мысли о том, что коэффициенты МНК были подвержены влиянию ненаблюдаемой неоднородности. Тем не менее, видна та же самая закономерность. Вскоре же­нившиеся мужчины зарабатывают значительно меньше женатых мужчин. По­этому обе гипотезы в отношении «выигрыша для женатых» оказываются час- тично верными.