13.4. Коинтеграция

Вообще говоря, линейная комбинация двух или более временных рядов будет нестационарна, если один или более из них нестационарны, и порядок интегрирования комбинации будет равен наиболее высокому из порядков интегрирования отдельных рядов.

Следовательно, например, линейная комбинация рядов 1(1) и 1(0) будет рядом 1(1), комбинация двух рядов 1(1) будет также рядом 1(1), а комбинация рядов 1(1) и 1(2) будет рядом 1(2). Однако если есть долговременные зависимости между временными рядами, то результат может быть другим. Рассмотрим, например, гипотезу Фридмена о постоянном доходе и функцию потребления

С/^рзУ/Ч, (13.36)

где С? и У,^р — постоянные потребление и доход соответственно; V, — мультипликативный случайный член. В логарифмах соотношение принимает вид

■\ogCf- »к^рг+квУ/Чц, (13.37)

где ы, — логарифм у_г Если теория верна, то, не касаясь кратковременной динамики и различия между постоянными и фактическими значениями переменных, можно утверждать, что в долгосрочном периоде потребление и доход будут расти с одинаковым темпом и математическое ожидание разности их логарифмов будет равно к^Р₂.

На рис. 13.11 показаны графики логарифмов совокупного располагаемого дохода и совокупных личных расходов йотреби- телей (левая шкала) и их разность (правая шкала) для США в период 1959— 2003 гг. Можно заметить, что разрыв между этими двумя величинами, хотя и подвержен воздействию кратковременной динамики, является более или менее постоянным. Таким образом, хотя эти два ряда нестационарны, они, по- видимому, двигаются вместе. Чтобы это было возможным, и, должно формироваться стационарным процессом, поскольку если бы это было не так, то оба ряда могли бы бесконечно дрейфовать по отдельности, нарушая теоретические соотношения.

Рис.

13.11. ЛогарифмыРСЕиОР/

Если два или более нестационарных временных рада связаны таким образом, то говорят* что они коинтегрированы. В данном случае коэффициент наклона для логарифма в уравнении (13.37) теоретически равен единице, что делает возможным проверить сходимость графически На рис. 13.11. В более общем случае, если верно соотношение

= + + + + (13-38)

между совокупностью переменных У,, Х_ъ,..., Х_ь, то случайный член и, можно рассматривать в качестве меры расхождения между компонентами модели

и,= Г,- р, - р^-... - ЭдД^ (13.39)

В краткосрочном периоде расхождение между компонентами будет колебаться, но если модель действительно верна; то это расхождение будет ограничено. Следовательно, хотя рассматриваемые временные ряды нестационарны, рад и, будет стационарен. Если в модели имеются больше чем две переменные, то возможно существование множественных коинтегрирующих соотношений, максимальное число которых в соответствии с теорией равно к-1.

Чтобы выполнить тест на коинтеграцию, необходимо выяснить, описывается ли случайный член стационарным процессом. В случае примера с расходами и доходами потребителей достаточно выполнить стандартный ЛОР-тест на наличие единичного корня для разности между этими двумя радами. Результаты показаны в табл. 13.4, где разность между логарифмами обозначена как 2. Тестовая статистика АЬР равна -1,41, что (по абсолютной величине) меньше, чем -3,52, т.е. критическое значение на уровне 5% для нулевой гипотезы о нестационарности. Это неожиданный результат, поскольку другие исследователи обнаружили коинтегрированность логарифмов расходов и дохода

Таблица 13.4. Расширенный тест Дики-Фуллера для проверки гипотезы о наличии единичного корня: переменная 2

Null Hypothesis: Z has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 1 (Fixed)
	t-Statistic	Prob*

Augmented Dickey-FuHer test statistic -1.409037 0.8441

Test critical values 1% level -4.186481

5% level -3.518090

10% level -3.189732

* Односторонние вероятности р Мак-Киннона (MacKinnon, 1996).

Уравнение для расширенного теста Дики—Фуллера

Dependent Variable: D(Z)

Method: Least Squares

Sampie(adjusted): 1961 2003

Included observations: 43 after adjusting endpoints

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
Z(-1)	-0.114209	0.081055	-1.409037	0.1667
D(Z(-1))	-0.228610	0.154586	-1.478856	0.1472
С	0.020752	0.011302	1.836086	0.0740
@TREND(1959)	-0.000408	0.000151	-2.698052	0.0103
R-squared	0.191040		Mean dependent var	-0.001085
Adjusted R-squared	0.128812		S.D. dependent var	0.011007
S.E. of regression	0.010273	-	Akaike info criter	-6.230132
Sum squared resid	0.004116		Schwarz criterion	-6.066299
Log likelihood	137.9478		F-statistic	3.070017
Durbin-Watson stat	2.024272		Prob(F-statistic)	0.038931

(например, Р.

Энгл и К. Гранжер (Engle, Granger, 1987)). Часть проблемы состоит в малой мощности теста относительно алнгернативной гипотезы о том, что и, является стационарным процессом с высокой автокорреляцией. Коэффициент при лаговых остатках равен -0,11, что предполагает (см. уравнение 13.35) близость процесса к AR(1) с коэффициентом автокорреляции 0,89, но стандартная ошибка слишком велика, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу о нестационарности. Вероятно, это частично обусловлено постоянством потребителей. Когда потребители больше заботятся о сбережениях, что, скорее всего, наблюдалось с 1959 по 1984 г., разрыв между логарифмами растет. Когда они заботятся о сбережениях меньше, что, по всей видимости, имело место после 1984г., разрыв сокращается. Тем не менее, очевидно, что эти изменения подвержены долгосрочным циклам, поэтому даже для периода продолжительностью в 45 лет трудно провести границу между гипотезой о том, что разрыв между логарифмами — случайное блуждание, и альтернативной гипотезой о том, что он стационарен, но с сильной автокорреляцией. С другой стороны, достаточно длинный временной ряд показал бы, что разрыв стационарен, поскольку он не может неограниченно уменьшаться.

В более общем случае модели типа (13.38), где должно быть оценено коин- тегрирующее соотношение, тест является косвенным, поскольку он должен быть выполнен по отклонениям от регрессии, а не по значениям случайного члена. Ввиду того, что оценивание коэффициентов по МНК минимизирует сумму квадратов отклонений, временной ряд для отклонений будет, вообще говоря, выглядеть более стационарным, чем ряд значений случайного члена. Чтобы учесть это, критические значения тестовой статистики должны быть выше, чем критические значения для стандартного теста на нестационарность временного ряда. Асимптотические критические значения для случая, где ко- интегрирующее соотношение включает две переменные, показаны в табл. 13.5. Тест предполагает, что в коинтегрирующее соотношение включен постоянный член, и критические значения зависят от того, был ли включен также и тренд.

Табл и ца 13.5. Асимптотические критические значения статистики Дики-Фуллера для коинтегрирующей зависимости с двумя переменными

_______________ Модели_________________ Уровень значимости 5% Уровень значимости 1 %

С постоянным членом, тренд отсутствует -3,34 -3,90

С постоянным членом и трендом___________________ -3,78 __________________ -4,32_________

Источник-. Davidson, MacKinnon, 1993.

В случае коинтегрирующих соотношений можно показать, что оценки по МНК сверхсостоятельны, в том смысле, что оценки параметров приближаются к их истинным значениям быстрее, чем это происходит в регрессии, оцениваемой по данным перекрестной выборки или стационарного временного ряда (Stock, 1987). В последнем случае теоретические дисперсии оценок имеют порядок 1/и, где п — число наблюдений в выборке или ряде, в то время как в случае коинтегрирующих соотношений эти дисперсии имеют порядок 1/й². Важное следствие этого состоит в том, что можно использовать МНК для оценивания коинтегрирующего соотношения, даже если оно входит в систему одновременных уравнений, поскольку смещение системы одновременных уравнений всегда асимптотически стремится к нулю.

Пример

Оценена логарифмическая регрессионная зависимость расходов на продовольствие и личного располагаемого Дохода и относительной цены на продовольствие с использованием данных для функций Спроса. Оцененное уравнение имеет вид

ижюо = 2,24 + 0,50 ШБР1 - 0,07 ЮРЯЮОО; Я² = 0,992. (13.40) (0,39) (0,01) (0,07)

Остатки для этой регрессии показаны на рис. 13.12. Картина выглядит неоднозначной, и невозможно сказать, вышядит ли ряд стационарным или нестационарным. Статистика Энгла-фанжера равна—1,93, она незначима даже на 5%-ном уровне. Невозможность отвергнуть нулевую гипотезу позволяет говорить о том, что переменные не коинтегрированы. Тем не менее, коэффициент при лаговых остатках равен -0,21, что говорит о процессе АЯ(1) с р, приблизительно равным 0,8. Как и ранее, невозможность с помощью теста отвергнуть нулевую гипотезу о нестационарности может лишь отражать малую мощность теста относительно альтернативной гипотезы, в соответствии с которой случайный член формируется сильно автокоррелированным стационарным процессом. Поэтому возможно, что переменные на самом деле коинтегрированы.

Рис. 13.12. Отклонения от логарифмической регрессии расходов на продовольствие от дохода и относительной цены

Упражнения

13.10. Постройте ряд, соответствующий случайному блужданию, и ряд, соответствующий стационарному процессу AR(1). Сгенерируйте Y_t как одну их произвольную линейную комбинацию и X_t — как другую такую комбинацию. Выполните тест для Y_t и X_t в коинтегрирующем соотношении.

13.11. Оцените логарифмическую регрессию расходов на ваш товар на располагаемый личный доход и на относительную цену, постройте график остатков и выполните тест на коинтеграцию.

<< | >>

↑

Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме 13.4. Коинтеграция:

- Государственное регулирование экономики - Институциональная экономика - Информационные технологии в экономике - История экономических учений - Макроэкономика - Микроэкономика - Учебники по экономике для школьников - Эконометрика - Экономика - Экономика предприятия - Экономическая теория -

- Аудит. Бухгалтерский учет - Банковское дело - Бизнес - История - Маркетинг и менеджмент - Налоги и налогообложение - Психология - Социология и Политология - Управление персоналом и Контроллинг - Финансы - Ценные бумаги - Шпаргалки - Экономика -