<<
>>

13.4. Коинтеграция

Вообще говоря, линейная комбинация двух или более временных рядов будет нестационарна, если один или более из них нестационарны, и порядок интегрирования комбинации будет равен наиболее высокому из порядков ин­тегрирования отдельных рядов.
Следовательно, например, линейная комби­нация рядов 1(1) и 1(0) будет рядом 1(1), комбинация двух рядов 1(1) будет так­же рядом 1(1), а комбинация рядов 1(1) и 1(2) будет рядом 1(2). Однако если есть долговременные зависимости между временными рядами, то результат может быть другим. Рассмотрим, например, гипотезу Фридмена о постоян­ном доходе и функцию потребления

С/^рзУ/Ч, (13.36)

где С? и У,р — постоянные потребление и доход соответственно; V, — мульти­пликативный случайный член. В логарифмах соотношение принимает вид

■\ogCf- »к^рг+квУ/Чц, (13.37)

где ы, — логарифм уг Если теория верна, то, не касаясь кратковременной ди­намики и различия между постоянными и фактическими значениями пере­менных, можно утверждать, что в долгосрочном периоде потребление и доход будут расти с одинаковым темпом и математическое ожидание разности их логарифмов будет равно к^Р2.

На рис. 13.11 показаны графики логарифмов совокупного располагаемого дохода и совокупных личных расходов йотреби- телей (левая шкала) и их разность (правая шкала) для США в период 1959— 2003 гг. Можно заметить, что разрыв между этими двумя величинами, хотя и подвержен воздействию кратковременной динамики, является более или ме­нее постоянным. Таким образом, хотя эти два ряда нестационарны, они, по- видимому, двигаются вместе. Чтобы это было возможным, и, должно форми­роваться стационарным процессом, поскольку если бы это было не так, то оба ряда могли бы бесконечно дрейфовать по отдельности, нарушая теоретиче­ские соотношения.

Рис.

13.11. ЛогарифмыРСЕиОР/

Если два или более нестационарных временных рада связаны таким обра­зом, то говорят* что они коинтегрированы. В данном случае коэффициент на­клона для логарифма в уравнении (13.37) теоретически равен единице, что делает возможным проверить сходимость графически На рис. 13.11. В более общем случае, если верно соотношение

= + + + + (13-38)

между совокупностью переменных У,, Хъ,..., Хь, то случайный член и, можно рассматривать в качестве меры расхождения между компонентами модели

и,= Г,- р, - р^-... - ЭдД^ (13.39)

В краткосрочном периоде расхождение между компонентами будет коле­баться, но если модель действительно верна; то это расхождение будет огра­ничено. Следовательно, хотя рассматриваемые временные ряды нестацио­нарны, рад и, будет стационарен. Если в модели имеются больше чем две пе­ременные, то возможно существование множественных коинтегрирующих соотношений, максимальное число которых в соответствии с теорией равно к-1.

Чтобы выполнить тест на коинтеграцию, необходимо выяснить, описыва­ется ли случайный член стационарным процессом. В случае примера с расхо­дами и доходами потребителей достаточно выполнить стандартный ЛОР-тест на наличие единичного корня для разности между этими двумя радами. Ре­зультаты показаны в табл. 13.4, где разность между логарифмами обозначена как 2. Тестовая статистика АЬР равна -1,41, что (по абсолютной величине) меньше, чем -3,52, т.е. критическое значение на уровне 5% для нулевой гипо­тезы о нестационарности. Это неожиданный результат, поскольку другие ис­следователи обнаружили коинтегрированность логарифмов расходов и дохода

Таблица 13.4. Расширенный тест Дики-Фуллера для проверки гипотезы о наличии единичного корня: переменная 2
Null Hypothesis: Z has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 1 (Fixed)
t-Statistic Prob*

Augmented Dickey-FuHer test statistic -1.409037 0.8441

Test critical values 1% level -4.186481

5% level -3.518090

10% level -3.189732

* Односторонние вероятности р Мак-Киннона (MacKinnon, 1996).

Уравнение для расширенного теста Дики—Фуллера

Dependent Variable: D(Z)

Method: Least Squares

Sampie(adjusted): 1961 2003

Included observations: 43 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Z(-1) -0.114209 0.081055 -1.409037 0.1667
D(Z(-1)) -0.228610 0.154586 -1.478856 0.1472
С 0.020752 0.011302 1.836086 0.0740
@TREND(1959) -0.000408 0.000151 -2.698052 0.0103
R-squared 0.191040 Mean dependent var -0.001085
Adjusted R-squared 0.128812 S.D. dependent var 0.011007
S.E. of regression 0.010273 - Akaike info criter -6.230132
Sum squared resid 0.004116 Schwarz criterion -6.066299
Log likelihood 137.9478 F-statistic 3.070017
Durbin-Watson stat 2.024272 Prob(F-statistic) 0.038931

(например, Р.

Энгл и К. Гранжер (Engle, Granger, 1987)). Часть проблемы со­стоит в малой мощности теста относительно алнгернативной гипотезы о том, что и, является стационарным процессом с высокой автокорреляцией. Коэф­фициент при лаговых остатках равен -0,11, что предполагает (см. уравнение 13.35) близость процесса к AR(1) с коэффициентом автокорреляции 0,89, но стандартная ошибка слишком велика, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу о нестационарности. Вероятно, это частично обусловлено постоянством потре­бителей. Когда потребители больше заботятся о сбережениях, что, скорее все­го, наблюдалось с 1959 по 1984 г., разрыв между логарифмами растет. Когда они заботятся о сбережениях меньше, что, по всей видимости, имело место после 1984г., разрыв сокращается. Тем не менее, очевидно, что эти изменения подвержены долгосрочным циклам, поэтому даже для периода продолжитель­ностью в 45 лет трудно провести границу между гипотезой о том, что разрыв между логарифмами — случайное блуждание, и альтернативной гипотезой о том, что он стационарен, но с сильной автокорреляцией. С другой стороны, достаточно длинный временной ряд показал бы, что разрыв стационарен, по­скольку он не может неограниченно уменьшаться.

В более общем случае модели типа (13.38), где должно быть оценено коин- тегрирующее соотношение, тест является косвенным, поскольку он должен быть выполнен по отклонениям от регрессии, а не по значениям случайного члена. Ввиду того, что оценивание коэффициентов по МНК минимизирует сумму квадратов отклонений, временной ряд для отклонений будет, вообще говоря, выглядеть более стационарным, чем ряд значений случайного члена. Чтобы учесть это, критические значения тестовой статистики должны быть выше, чем критические значения для стандартного теста на нестационарность временного ряда. Асимптотические критические значения для случая, где ко- интегрирующее соотношение включает две переменные, показаны в табл. 13.5. Тест предполагает, что в коинтегрирующее соотношение включен постоян­ный член, и критические значения зависят от того, был ли включен также и тренд.

Табл и ца 13.5. Асимптотические критические значения статистики Дики-Фуллера для коинтегрирующей зависимости с двумя переменными

_______________ Модели_________________ Уровень значимости 5% Уровень значимости 1 %

С постоянным членом, тренд отсутствует -3,34 -3,90

С постоянным членом и трендом___________________ -3,78 __________________ -4,32_________

Источник-. Davidson, MacKinnon, 1993.

В случае коинтегрирующих соотношений можно показать, что оценки по МНК сверхсостоятельны, в том смысле, что оценки параметров приближают­ся к их истинным значениям быстрее, чем это происходит в регрессии, оцени­ваемой по данным перекрестной выборки или стационарного временного ряда (Stock, 1987). В последнем случае теоретические дисперсии оценок име­ют порядок 1/и, где п — число наблюдений в выборке или ряде, в то время как в случае коинтегрирующих соотношений эти дисперсии имеют порядок 1/й2. Важное следствие этого состоит в том, что можно использовать МНК для оце­нивания коинтегрирующего соотношения, даже если оно входит в систему одновременных уравнений, поскольку смещение системы одновременных уравнений всегда асимптотически стремится к нулю.

Пример

Оценена логарифмическая регрессионная зависимость расходов на продо­вольствие и личного располагаемого Дохода и относительной цены на продо­вольствие с использованием данных для функций Спроса. Оцененное уравне­ние имеет вид

ижюо = 2,24 + 0,50 ШБР1 - 0,07 ЮРЯЮОО; Я2 = 0,992. (13.40) (0,39) (0,01) (0,07)

Остатки для этой регрессии показаны на рис. 13.12. Картина выглядит не­однозначной, и невозможно сказать, вышядит ли ряд стационарным или нестационарным. Статистика Энгла-фанжера равна—1,93, она незначима даже на 5%-ном уровне. Невозможность отвергнуть нулевую гипотезу позво­ляет говорить о том, что переменные не коинтегрированы. Тем не менее, ко­эффициент при лаговых остатках равен -0,21, что говорит о процессе АЯ(1) с р, приблизительно равным 0,8. Как и ранее, невозможность с помощью тес­та отвергнуть нулевую гипотезу о нестационарности может лишь отражать ма­лую мощность теста относительно альтернативной гипотезы, в соответствии с которой случайный член формируется сильно автокоррелированным стацио­нарным процессом. Поэтому возможно, что переменные на самом деле коин­тегрированы.

Рис. 13.12. Отклонения от логарифмической регрессии расходов на продовольствие от дохода и относительной цены

Упражнения

13.10. Постройте ряд, соответствующий случайному блужданию, и ряд, соответству­ющий стационарному процессу AR(1). Сгенерируйте Yt как одну их произволь­ную линейную комбинацию и Xt — как другую такую комбинацию. Выполните тест для Yt и Xt в коинтегрирующем соотношении.

13.11. Оцените логарифмическую регрессию расходов на ваш товар на располагаемый личный доход и на относительную цену, постройте график остатков и выполните тест на коинтеграцию.

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме 13.4. Коинтеграция:

  1. Бочаров В.В.. Инвестиции. СПб.: — 176 с. (сер. "Завтра экзамен"), 2008
  2. Капферер, Жан-Ноэль. Бренд навсегда: создание, развитие, поддержка ценности бренда, 2007
  3. Предисловие к русскому изданию Настольная книга специалистов по брендингу
  4. Предисловие к третьему изданию Объединение бренда и бизнеса
  5. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.Почему брендинг является стратегическим
  6. ГЛАВА 1.Рассмотрим капитал бренда
  7. Рассмотрим капитал бренда
  8. Что такое бренд?
  9. Дифференциация между активами, силой и ценностью брендов
  10. Мониторинг капитала бренда
  11. Добрая воля : соединение финансов и маркетинга
  12. Как бренды создают ценность для потребителей
  13. Как бренды создают ценности для компании
  14. Корпоративная репутация и корпоративный бренд
  15. ГЛАВА 2. Стратегическое значение брендинга
  16. Стратегическое значение брендинга
  17. Постоянное оберегание отличий
  18. То, что вы делаете сначала, наиболее важно