<<
>>

13.2. Последствия нестационарное?

С регрессиями, оцененными на основе нестационарных временных рядов, существуют две проблемы. Во-первых, ухудшаются свойства оценок. Во-вто­рых, повышается риск того, что регрессия окажется мнимой.
Начнем с первой проблемы.

Требования для состоятельности

В подразделе 12.2 препосылка (С.7) состояла из двух требований:

1) распределение случайного члена для любого наблюдения независимо от значений регрессоров для этого же наблюдения;

2) распределение случайного члена для любого наблюдения независимо от значений регрессоров для других наблюдений.

Первое требование должно быть выполнено, иначе оценки МНК окажутся несостоятельными, и в этом случае придется использовать другие методы оце­нивания, — такие, например, как метод инструментальных переменных. Но даже если условие (1) выполнено, по-прежнему высока вероятность того, что требование (2) окажется нарушенным. В подразделе 12.2 было показано, по­чему мы принимаем в качестве рабочей гипотезы нарушение требования (2), имея в виду лаги и взаимодействия, часто встречающиеся в зависимостях между показателями временных рядов. Когда требование (2) нарушено, оцен­ки МНК смещены для конечных выборок. В лучшем случае можно рассчиты­вать на их состоятельность. Два условия для состоятельности заключаются в том, что, во-первых, при растущем размере выборки оценка должна стремить­ся к конечному пределу, и, во-вторых, это предельное значение должно совпа­дать с истинным значением параметра. Если спецификация модеди-правиль- на и возможно разложение оценки на истинное значение параметра и случай­ную ошибку, то необходимо, чтобы распределение случайной ошибки «прижималось» к вертикальной оси при увеличении размера выборки.

Рассмотрим конкретный пример:

I+ (13.19)

Оценку МНКможноразложить:

(-Хт-Г) %(Х,-Х)(щ-й)

Л'«-^------------------ —'+ ----- =

Л2 £(*,-лг)2

/=1 /=1

-Х)(Ы/-«)

= + -------------------- .

(13.20)

1 VI, „ Уч2

-К*,-Л2

я,=1

Если при работе с данными перекрестных выборок предполагается, что регрессоры получаются случайным образом из постоянных генеральных со­вокупностей, можно показать, что предельное значение числителя случайной ошибки равно cov(X, и), что, в свою очередь, равно нулю, если выполнена предпосылка ((В.7) аналог предпосылки (С.7)). Можно также показать, что знаменатель стремится к var(A) при росте размера выборки, поэтому, при усло- вии, что var(A> # 0, случайная ошибка в целом стремится к нулю.

С данными временных рядов ситуация усложняется. Компоненты случай­ного члена будут стремиться к конечным пределам, только если выполнена предпосылка (С.2) и регрессоры «слабо устойчивы». Точное определение сла­бой устойчивости требует технических подробностей, лежащих за рамками данного текста. (Нащжмер, см. работу Дж. Вулдриджа (Wjoldridge, 1994)). В первом приближении здесь можно использовать стационарность в качестве определения, и этот критерий часто используется на практйке. Тем не менее, теоретически возможно, что оценки %дут состоятельными в модели с неста­ционарными регрессорами, но теоретически возможно и то, что оценки ока­жутся несостоятельными в модели со стационарными регрессорами.

Мнимые регрессии

В модели, где временные ряды нестационарны из-за наличия детермини­рованных временных трендов, риск получения мнимых («кажущихся») ре­зультатов очевиден. Предположим, что оценивается регрессия переменной Yt на переменную Xt, они обе содержат временные тренды, но не связаны друг с другом непосредственно. Если временные тренды обусловливают высокую выборочную корреляцию между этими двумя переменными, то R2, который равен квадрату коэффициента корреляции, будет высоким, следователи»» высокими будут также значения /-статистики и /-статистики для коэффици­ента при Хр несмотря на тот факт, что Xt не влияет на Y(. Простейшее решение состоит в удалении трендов переменных перед оцениванием регрессии.

В со­ответствии с теоремой Фриша-Вау-Ловелла (Frisch-Wkugh-Lovell), описан­ной в подразделе 3.2, это можно сделать, включив временной тренд в модель регрессии.

Как показали Танжер и Ньюбодд (Granger, Newbold, 1974) с помощью эк­сперимента по методу Монте-Карло, кажущиеся регрессии могут также появ­ляться при использовании интегрированных временных рядов и даже при ис- пользовйнии стационарных временных рядов, если игнорируется наличие автокорреляции в случайном члене. Они оценили модель

\г,=Р1 + Р2а;+И„ (mi)

где Yt и Xt — независимо сгенерированные случайные блуждания:

J^M + k (13-22)

jr,=jrM + v„ (13.23)

а и v, — независимые процессы типа «белого шума». Очевидно, регрессия одного случайного блуждания на другое не должна дать значимых результа­тов, т.е. она даст их лишь в случае ошибки I рода. Гранжер и Ньюболд повто­рили оценивание регрессии 100 раз с новыми парами случайных блужданий; при этом, используя 5%-ный уровень значимости, можно было бы ожидать,

что коэффициент наклона, будет значимо отличаться от нуля до приблизи­тельно 5 раз вследствие ошибки I рода. Однако они обнаружили, что коэффи­циент наклона имел заведомо значимую /-статистику в 77 случаях. Использо­вание более осторожного теста на 1%-ном уровне значимости дало очень не­большое отличие. Нулевая гипотеза об отсутствии связи была отклонена в 70 случаях.

Причина такого результата заключается в том» что (13.21) содержит двой­ную ошибку спецификации, учитывая, что ряд ¥( сгенерирован на основе за­висимости (13.22). Кроме того, что в модель была добавлена ненужная пере­менная Х{, важная переменная оказалась исключена. Такое исключение имеет серьезные последствия с точки зрения случайной ошибки. При выпол­нении нулевой гипотезы #0: Р1 .== Р2 = 0 уравнение (13.21) превращается в

У,=иг " : (13.24)

Это значит, что при выполнении нулевой гипотезы и( является случайным блужданием и, как следствий, стандартные ошибки и ^статистики рассчиты­ваются некорректно.

Именно поэтому Гранжер и Ньюболд столкнулись с та­ким количеством ошибок I рода.

Чтобы эта проблема возникла, и Х( не обязаны быть Случайными блужда­ниями. Предположим, что они сгенерированы как стационарные процессы АЩ1):

Г = а2¥1_1 + ^ (13.25)

(13.26)

с (-1 < а2 < 1) и (-1 < у2 < 1). Как и раньше, при выполнении нулевой гипотезы Н0: Р, = р2 = 0, поэтому уравнение (13.21) сводится к уравнению (13.24), при этом ы, подвержен автокорреляции типа АЛ(1). Регрессии У, на X, вновь дают ненормально высокий уровень ошибок I рода, растущий при увеличении зна­чения о^. Эксперимент Гранжера-Ньюболда с а22 = 1 можно рассматривать как крайний случай. Свидетельством неправильной спецификации является низкий уровень статистики Дарбина-Уотсойй. '

Рассмотрим, что' происходит, если попробовать решить проблему со слу­чайным членом путем включения Ум в качестве объясняющей переменной и построить модель

У^ + Р^ + Рз^ + и,. (13.27)

Теперь это корректная модель, поскольку в ней нет пропущенной пере­менной. Конечно, по-прежнему остается лишняя переменная Хр но, как из­вестно из подраздела 6.3, если во всех других отношениях модель правильно специфицирована, то включение «лишней» переменной приводит лишь к по­тере эффективности.

Если У, и X) сгенерированы как автокоррелированнке стационарные про­цессы в уравнениях (13.25) и (13.26), а гипотеза #0: р2 = 0 по-прежнему отвер­гается вследствие ошибки I рода чаще, чем нужно для конечных выборок, но, Тем не менее, намного реже, чем в случае построения модели без и на больших выборках проблема снимается. При росте размера выборки оценка

МНК Ьг стремится к рз, a ft2 —к нулю. Слишком частое отклонение гипотезы #0: р2 = О для конечных выборок вызвано нарушением части (2) предпосылки ■ (с.7). ;

Если, однако, Yt и Xt генерированы как случайные блуждания, то частота ошибки I рода остается более высокой, чем следовало бы, даже на больших выборках. В ряде работ исследованы асимптотические свойства оценок МНК в случае нестационарности регрессоров. В частности, П. Филлипс (Phillips, 1986) показал, что распределение Р2 сходится к невырожденному предельному распределению, не «сжимающемуся» к вертикальной оси, с увеличивающейся с ростом размера выборки вероятностью кажущейся ошибки I рода выборки. Он также показал, что эти результаты распространяются и на стационарные ряды с близкой к единице величиной р (Phillips, 1987). Эти и подобные резуль­таты подчеркивают важность идентификации нестационарных процессов и развития соответствующих регрессионных моделей.

Упражнения

13.3. Повторите эксперимент Г^анжера и Ньюболда со 100 наблюдениями вместо 50. Создайте два независимых рада на основе случайных блуждания из 100 наблюде­ний и оцените регрессию одного ряда от другого. Является ли /-статистика коэф­фициента наклона значимой на уровне значимости 5%? Повторите эксперимент несколько раз (по крайней мере 5 раз, желательно — 10) и обратите внимание на частоту ошибок I рода.

13.4. Создайте два независимых ряда на основе процессов AR( 1) при 100 наблюдениях и р = 0,95 и оцените регрессионную зависимость одного ряда от другого. Являет­ся ли /-статистика коэффициента наклона значимой на уровне 5%? Оцените ре­грессию во второй раз, используя спецификацию AR(1) и сравните результаты. Повторите эксперимент несколько раз*(йо тайней мере 5 раз, желательно — 10) и определите частоту появления ошибок I родо в, спецификациях МНК-ре- грессий и модели AR(1). Сравните результаты с Полученными в упражне­нии 13.3.

13.5. Повторите упражнение 13.3 с рядом из 10 000 наблюдений и сравните результаты с результатами упражнения 13.3, полученными ранее.

13.6. Повторите упражнение 13.4 с рядом из 10 000 наблюдений и сравните результаты с результатами упражнения 13.4.

13.7*. Предположим, что ряд генерирован как

Х{ = P^-i+ Е/>

где р2 = 1 - 5 и 8 мало. Покажите, что если § достаточно мало« чтобы можно было пренебречь членами, включающими 82, то дисперсия приблизительно равна:

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме 13.2. Последствия нестационарное?:

  1. 13.1. Стационарность и нестационарность
  2. 13.3. Обнаружение нестационарности
  3. 13.НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ: ВВЕДЕНИЕ
  4. 13.5. Оценивание моделей с нестационарными временными рядами
  5. Последствия безработицы
  6. 12.1. Макроэкономические последствия
  7. Последствия инфляции
  8. Последствия недействительности сделок.
  9. Последствия Тридцатилетней войны
  10. 5.4. Последствия социального конфликта
  11. Модель конфликта и его последствия.
  12. 18.1. Определение условных фактов хозяйственной деятельности и их последствия
  13. Оценка последствий потерь
  14. Причины и последствия раздробленности.
  15. Последствия гиперинфляции
  16. Экономические последствия
  17. Социальные последствия
  18. 5.10. Последствия РАЗВОДА
  19. Последствия споров с акционерами, директором