12.5. Автокорреляция с лаговой зависимой переменной

Например, рассмотрим Модель

У^ + Р^+Рз^ + И,. (12.31)

Если бы не было автокорреляции, то МНК дал бы состоятельные оценки. Строго говоря, использование лаговой зависимой переменной вызовет сме­щенность при использовании МНК на конечных выборках, как показано в разделе 12.2, но на практике такого рода смещение не считается серьезным и игнорируется. Однако если случайный член подвержен автокорреляции, то ситуация полностью меняется. Мы рассмотрим случа^, когда и, подвержен ав­токорреляции вида AR( 1):

и,= ри_м + є,. (12.32)

В этом случае модель можно переписать как

r^Pj + p^ + Ps^-i + P^-i + V (12.33)

Введя в (12.17) лаг продолжительностью в один период, мы вищим, что

l^-i = Pi + Мм + h^Yt-i + ^ut-v 02-34)

Следовательно, в (12.33) нарушена часть (1) допущения (С.7).

аружение автокорреляции в случае с лаговой симой переменной

Как отмечали Дж. Дарбин и Дж. Уотсон в своей оригинальной работе, в случае присутствия в регрессии лаговой зависимой переменной использова­ние ^-статистики некорректно.

(12.35)

где р — оценка р для процесса АЛ(1); — оценка дисперсии коэффициента при лаговой зависимой переменной У_м; и — число наблюдений в уравнении регрессии. Отметим, что число добычно будет на единицу меньшим, чем чис­ло наблюдений в выборке, поскольку одно наблюдение теряется при оценива­нии уравнения. Оценить р можно разными способами, но поскольку тест применим лишь для больших выборок, выбор способа не имеет значения, и удобнее всего здесь воспользоваться зависимостью между ё для р больших выборок:

с? —► 2 - 2р.

Отсюда значение р оценивается как (1 - У₂Л). Оценка дисперсии коэффи­циента при лаговой зависимой переменной получается путем возведения в квадрат его стандартной ошибки. Таким образом, статистика Л может быть рассчитана по обычной регрессионной распечатке. При выполнении нулевой гипотезы об отсутствии автокорреляции на больших выборках Л распределена как N(0,1), т.е. имеет стандартное нормальное распределение. Гкпотеза об от­сутствии автокорреляции, следовательно, может быть отвергнута для большой Выборки на 5%-ном уровне значимости (при использовании двусторонней альтернативной гипотезы), если абсолютная величина А Превышает 1,96, и на 1%-ном уровне — если она превышает 2,58.

Обрей проблемой при выполнении данного теста является невозмояйюсть рассчитать Ь-статистику, если гЦ превышает единицу, что может произойти в

случае недостаточно большой выборки. Еще более серьезная проблема возни­кает в том случае, если близко к единице, но меньше нее. В такой ситуации й-статистика может быть очень большой даже в случае отсутствия проблемы автокорреляции. По этой причине неплохой идеей может быть сохранение внимания и к (/-статистике, несмотря на ее смещенность.

Р

Модель частичной корректировки приводит к спецификации с лаговой за­висимой переменной. Такая модель с логарифмической функцией спроса на жилье была использована в упражнении в гл. 11. Результаты ее оценивания представлены в табл. 12.3. Статистика Дарбина—Уотсона равна в ней 1,8110.

эконометрику

Таблиц* 12.3

Величина (1 - V₂d) = 0,0945 дает нам оценку p.

_Л = 0,0945 ж = 0,66. (12.37,

Это меньше, чем 1,96, и поэтому мы не отвергаем нулевую гипотезу об от­сутствии автокорреляции при 5%-ном уровне значимости (напомним, одна­ко, что используется тест для больших выборок, в то время как у нас лишь 44 на&ааяедая).