11.6. Тесты на устойчивость

Тест Чоу на неудачу предсказания

Как мы видели в предыдущем подразделе, ошибку предсказания можно рассчитать, добавив набор фиктивных переменных для наблюдений пе­риода предсказания. Теперь вполне естественно определить, существенно ли ошибка предсказания отличается от нуля, и мы можем сделать это с по­мощью ^-теста на совместную объясняющую способность фиктивных пе­ременных. Совместив период выборки и период предсказания, мы оценим уравнение регрессии сначала без набора фиктивных переменных, а затем — вместе с ним. Обозначим полученные суммы квадратов отклонений как Я88_т+р и К88^_+р, где нижний индекс показывает число наблюдений в ре­грессии, а верхний индекс Э означает включение в уравнение фиктивных переменных. С помощью /^-теста, описанного в разделе 3.5, мы можем определить, было ли существенным улучшение качества уравнения после добавления набора фиктивных переменных. Улучшение равно {Я88_т+р - - число фиктивных переменных — Р\ сумма квадратов отклонений

после включения фиктивных переменных — /Ж^; остающееся число степеней свободы равно числу наблюдений в совмещенной выборке (74 Р) за вычетом числа оцененных параметров (к + Р). В итоге значение /^статис­тики составит:

Р(Р, Т - к) = (^шт+р~ , (11.61)

На самом деле для реализации теста даже не требуется оценивать уравне­ние регрессии с фиктивными переменными, поскольку значение Я88⁰_т+р равно значению Я88_т — сумме квадратов отклонений для уравнения ре­грессии, оцененного на периоде выборки. Качество этой регрессии в точ­ности такое же, как и у регрессии для первых Г наблюдений в уравнении с фиктивными переменными, и отклонения здесь те же самые. Для послед­них Р наблюдений в уравнении с фиктивными переменными нет отклоне­ний, так как включение специальной фиктивной переменной для каждого наблюдения гарантирует точность уравнения для этих наблюдений. В итоге значение RSS^D_T+p в точности такое же, как и значение RSS_T, и F-статистика может быть переписана как

F(P, Т - к) = (^RSST₊p~^S_T)/P RSS_T/(T - к)

Этот тест известен как тест Чоу на неудачу предсказания и был назван так по имени своего создателя (Chow, 1960), однако приводимая здесь интер­претация теста была предложена несколько позже X. Песараном, Р. Смитом и С. Ео (Pesaran, Smith, Yeo, 1985).

Пример

Функция расходов на жилье вначале была оценена для периода 1959— 1999 гг., со значением 0,009673, а затем — для периода 1959—2003 гг.,

при этом 1№З_т+р = 0,011937. Следовательно, /^статистика равна

₍0,0П937-0,009б73)/4 ^; 0,009673/38 ^v

Нулевая гипотеза заключается в том, что все коэффициенты при фик­тивных переменных равны нулю. Критическое значение Г(4; 38) на 5%-ном уровне значимости составляет 2,62.

Р-тест на устойчивость коэффициентов

Если для периода предсказания имеется достаточное число наблюдений, то можно проверить, совпадали ли значения коэффициентов в период вы­борки и период предсказания, выполнив тест Чоу так, как это описано в гл. 5. Чтобы выполнить этот тест, нужно оценить отдельные регрессии для периода выборки и периода предсказания, а затем для всего периода и про­верить, дает ли разбиение всего периода на периоды выборки и предсказа­ния значимое улучшение оценок по сравнению с оценками для всего пе­риода. Если такое улучшение наблюдается, то это означает неустойчивость оценок.

Пример

В случае с функцией расходов на жилье при рассмотрении 1959-1999 гг. как периода выборки и 2000—2003 гг. как периода предсказания, суммы квадратов отклонений для периода выборки, периода предсказания и всего периода равнялись соответственно 0,009673; 0,000012 и 0,011937. Оценива­ние отдельных регрессий для двух подпериодов «стоит» трех степеней сво­боды, и число степеней свободы, остающееся после оценивания шести па­раметров (по два постоянных члена, коэффициента при ЮВР1 и коэффи­циента при ЬСРЯНОС/Я) равно 39. Следовательно, мы получаем следующую ^-статистику, распределенную с 3 и 39 степенями свободы:

етг*» (0,04937 - [0,009673 + 0,000012])/3 ^{Щ39) =}---- (0,009673 ₊ 0,000012)/39 ^{= 3}' ^{(11 М)}

Критическое значение ДЗ; 39) на 5%-ном уровне значимости составляет 2,84, так что мы можем сделать вывод о наличии некоторых оснований предполагать нестабильность коэффициентов. На уровне значимости 1% критическое значение составляет4,31. Таким образом, возможны ситуации, когда тест Чоу на неудачу предсказания и /'-тест на устойчивость коэффи­циентов приводят к разным выводам. Однако даже в этом случае разница между ними не слишком значительная. Тест на неудачу предсказания ока­зался почти значим на уровне 5%, а гест на стабильность коэффициентов значим на этом уровне с совсем небольшим отклонением от критического значения.

Ключевые понятия

гипотеза о постоянном доходе

лаговая структура

модель адаптивных ожиданий

модель учета привычек

модель частичной корректировки

предсказание

прогноз простая лаговая структура

процесс генерирования данных

распределение Койка

реализация

решетчатый поиск

тест Чоу на неудачу предсказания

трансформация Койка

Упражнения

11.14. Оцените логарифмическую функцию спроса для вашей категории расходов для периодов 1959-1999 и 1959-2003 гг. и выполните тест Чоу на неудачу предсказа­ния.

11.15. Оцените вашу функцию спроса по данным для 1959-2003, 1959-1999 и 2000- 2003 гг. и выполните /-тест на устойчивость коэффициентов.