10.8. Тесты на устойчивость

Тест Чоу на неудачу предсказания

Как мы видели в предыдущем разделе, ошибку предсказания можно рассчи­тать, добавив набор фиктивных переменных для наблюдений периода предска­зания. Теперь вполне естественно определить, существенно ли ошибка предска­зания отличается от нуля, и мы можем сделать это с помощью /'-теста на со­вместную объясняющую способность фиктивных переменных. Совместив пери­од выборки и период предсказания, мы оценим уравнение регрессии сначала без набора фиктивных переменных, а затем — вместе с этим набором. Обозна­чим полученные суммы квадратов отклонений как и где ниж­ний индекс показывает число наблюдений в регрессии, а верхний индекс «£>» означает включение в уравнение фиктивных переменных. С помощью /'-теста, описанного в разделе 5.6, мы можем определить, было ли существенным улуч­шение качества уравнения после добавления набора фиктивных переменных. Данное улучшение можно представить в виде (/?&У_г+т — число фик­тивных переменных равно т\ сумма квадратов отклонений после включения фик­тивных переменных составляет ЛХУ^,; остающееся число степеней свободы рав­но числу наблюдений в совмещенной выборке (Т + т) за вычетом числа оце­ненных параметров (к + т + 1). В итоге значение /'-статистики составит:

На самом деле для реализации теста даже не требуется оценивать уравнение регрессии с фиктивными переменными, поскольку значение равно

значению И$3_Т — сумме квадратов отклонений для уравнения регрессии, оце­ненного на периоде выборки. Качество этой регрессии в точности такое же, как и у регрессии для первых Г наблюдений в уравнении с фиктивными перемен­ными, и отклонения здесь те же самые. Для последних т наблюдений в уравне­нии с фиктивными переменными нет отклонений, так как включение специ­альной фиктивной переменной для каждого наблюдения гарантирует точность уравнения для этих наблюдений. В итоге значение ЯББ^^ в точности такое же, как и значение ЛИр и /'-статистика может быть переписана как

^-'-"■'^-Л' .Г-

Этот тест известен как тест Чоу и был назван так по имени своего создателя

Г. Чоу (Chow, 1960), однако приводимая здесь интерпретация теста была пред­ложена несколько позже X. Песараном, Р. Смитом и С. Ео (Pesaran, Smith, Yeo, 1985).

Пример

Функция спроса на продукты питания сначала была оценена на данных за период 1959—1979 гг., и = 0,0052, а затем — на данных за период 1959— 1983 гг., = 0,0070. Как следствие значение ^-статистики равно:

™ (0,0070 - 0,0052)/4 _| _

'^{(4Л8) =}---------- 0,0052/18 ⁼ (¹⁰-⁸²)

Критическое значение /'-статистики с 4 и 18 степенями свободы при 5-процент­ном уровне значимости равно 2,93, поэтому мы не отвергаем нулевую гипотезу о стабильности коэффициентов уравнения регрессии.

Р-тестна стабильность коэффициентов

Если имеются приемлемые наблюдения за период предсказания, то можно провести Г-тест на наличие структурного перелома, описанный в разделе 9.5, и оценить, значимо ли различаются коэффициенты периода выборки и перио­да предсказания. Для реализации этого теста сначала необходимо оценить раз­дельно уравнения регрессии для периода выборки и периода предсказания, а затем — совместно для этих двух периодов. После этого нужно проверить, зна­чимо ли улучшается качество уравнения при разделении общего периода оцен­ки регрессии на период выборки и период предсказания. Подтверждение этой гипотезы может служить свидетельством того, что коэффициенты регрессии не­стабильны.

Пример

При оценивании функции спроса на продукты питания с использованием наблюдений за 1959-1979 гг. в качестве периода выборки, а за 1980—1983 гг. — в качестве периода предсказания, суммы квадратов отклонений для периода вы­борки, периода предсказания и совмещенного периода равнялись 0,0052; 0,0002 и 0,0070 соответственно. Оценка отдельных уравнений регрессии для двух под- периодов ведет к утрате трех степеней свободы, и число степеней свободы, ос­тающееся после оценивания шести параметров (двух постоянных членов, двух коэффициентов при logx, двух коэффициентов при log/>), равно 19. В итоге мы получаем следующую /^статистику, распределенную с 3 и 19 степенями свобо­ды:

_ (0,0070 - [0,0052 + 0,0002)) / 3 ^W9) (0,0052 ₊ 0,0002) /19 "