10.2. Логит-анализ

р, = = —Цг. (10.6)

1 + е

График этой функции показан на рис. 10.3. Если Z стремится к бесконеч­ности, то е^-7 стремится к нулю, ир ограничена сверху единицей.

Предельное воздействие величины Z на вероятность, обозначаемое как Д2), представлено производной этой функции по 2.

= ^ = (10.7)

йг (1 + е^г у

График данной функции показан на рис. 10.4. Можно видеть, что воздей­ствие изменений Z на вероятность очень мало для больших по абсолютной величине положительных или отрицательных значений Z и что чувствитель­ность вероятности к изменениям Z наиболее велика в центральной точке ноль.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 2

Рис. 10.4. Предельное воздействие 1 на вероятность

В примере с окончанием средней школы рассматриваемая функция есть А = _{1 + е}-р,-р,астмс, ' ⁽¹⁰-⁸⁾

Оценив параметры модели, получаем результаты, представленные в табл.

Таблица 10.2

. logit GRAD ASVABC

Iteration 0: log likelihood = -118.67769 Iteration 1: log likelihood = -104.45292 Iteration 2: log likelihood = -97.135677 Iteration 3: log likelihood = -96.887294 Iteration 4: log likelihood = -96.886017 Logit estimates Number of obs = 540 LRchi2(1) = 43.58 Prob > chi2 = 0.0000

Log likelihood = -96.886017 Pseudo R2 = 0.1836

GRAD Coef. Std. Err. z P>|z| [95%Conf. Interval]

ASVABC .1313626 .022428 5.86 0.000 .0874045 .1753206

_cons -3.240218 .9444844 -3.43 0.001 -5.091373 -1.389063

(10.11)

Это показано также на рис.

Обобщение для моделей более чем одной объясняющей переменной

Логит-анализ легко обобщается на случай с более чем одной объясняющей переменной. Предположим, мы решили связать окончание средней школы с ASVABC, SM — числом лет обучения матери респондента, SF — числом лет обучения его отца и полом респондента на основе использования фиктивной переменной MALE, равной единице для мужчин и нулю — для женщин. Пере­менная Z выражается в виде

Z= р, + р ₂ASVABC+ р₃Ш+ р ₄5F+ р _SMALE.

Соответствующая распечатка результатов оценивания регрессии (без ин­формации об итерациях) показана в табл. 10.3.

Средние значения переменных ASVABC, SM, SF и MALE показаны в табл. 10.4, и, следовательно, значение Zb средней точке равно 3,5143. Отсюда получаем значение 0,0298 для e~^z и 0,0281 для/(2). В табл. 10.4 представлены

. logit GRAD ASVABC SM SF MALE Logit estimates Number of obs = 540 LR chi2(4) = 43.75 Prob > chi2 = 0.0000

Log likelihood = -96.804844 Pseudo R2 = 0.1843

значения предельного эффекта переменных, рассчитанные путем умножения на оценки коэффициентов логит-регрессии.

В соответствии с выполненными расчетами увеличение АБУАВС на один балл увеличивает вероятность окончания средней школы на 0,4 процентных пункта, принадлежность к мужскому полу увеличивает вероятность на такую же величину.

Изменения в уровне образования родителей дают незначительный эффект. По распечатке результатов можно заметить, что воздействие АБУАВС статис­тически значимо на уровне 0,1%, но воздействие всех остальных рассмотрен­ных объясняющих переменных незначимо.

Качество оценивания и статистические тесты

При оценивании методом максимального правдоподобия не существует меры качества оценивания, аналогичной коэффициенту Я². В этой ситуации для сравнения альтернативных спецификаций моделей были предложены многочисленные меры. Обозначим фактическое значение зависимой пере­менной в наблюдении г как У. (У₁ = 1 в случае наступления рассматриваемого события и ^ = 0 — в противном случае) и предсказанную вероятность наступ­ления события как Д . Среди этих мер отметим следующие: • число правильно предсказанных исходов, если в наблюдении / считать

предсказанием 1 при Д больше, чем 0,5, и 0 — в противном случае;

• сумма квадратов отклонений ^(У₁ - р,)²;

/=1

• коэффициент корреляции между исходами и предсказанными вероятно­стями^;

• коэффициент псевдо-Л² в распечатке логит-регрессии, рассматриваемый в разделе 10.6.

Каждая из этих мер имеет свои недостатки, и Т. Амемия (Атепцуа, 1981) рекомендует рассматривать более чем одну меру и сравнивать получаемые ре­зультаты. Тем не менее, стандартные тесты на значимость здесь подобны ис­пользуемым в обычной регрессионной модели. Значимость отдельного коэф­фициента может быть оценена с помощью его ^-статистики. Однако поскольку стандартная ошибка корректна лишь асимптотически {на больших выборках), то же относится и к ^-статистике, и поскольку ^-распределение приближается к нормальному распределению на больших выборках, следует использовать критические значения последнего. Это означает замену «/» на «г» при расчетах в программе 81а1а. Аналогом /'-теста на объясняющую способность модели (Н₀: все коэффициенты наклона равны 0; Н{. по крайней мере один из коэф­фициентов отличен от нуля) является тест х², где соответствующая тестовая статистика в распечатке логит-регрессии имеет (в случае выполнения Н₀) %²- распределение с числом степеней свободы, равным числу объясняющих пере­менных. Более детально это поясняется в разделе 10.6.

Упражнения

10.1. Исследуйте факторы, влияющие на вероятность поступления в вуз для набора данных EAEF. Определите двоичную переменную COLLEGE следующим обра­зом: она равна единице, если S > 12 и нулю — в противном случае. Оцените рег­рессионную зависимость COLLEGE от ASVABC, SM, SF и MALE: 1) с помощью обычного МНК; 2) с использованием логит-анализа. Рассчитайте предельный эффект для случая логит-анализа и сравните его с полученными для случая обычного МНК.

10.2*. Исследователь, на основе выборки из 2868 индивидов базы данных NLSY, изуча­ет то, как вероятность получения респондентом степени бакалавра (после четы­рехлетнего обучения в вузе) связана с его показателем ASVABC. В выборке 26,7% респондентов получили степень бакалавра. Значение ASVABC в выборке меняет­ся от 22 до 65, его среднее значение равно 50,2, а большая часть значений лежит между 40 и 60. Переменная BACH считается равной единице, если респондент имеет степень бакалавра (или более высокую академическую степень), и нулю — в противном случае. Исследователь оценивает регрессию по МНК (в скобках — стандартные ошибки):

BACH = - 0,864 + 0,023 ASVABC, R² = 0,21.

(0,042) (0,001)

Он оценивает также следующую логит-регрессию:

Z = -10,103+ 0,189 ASVABC, (0,487) (0,009)

где 2— переменная в логит-функции. На основе этой регрессии исследователь построил графики функций распределения вероятности и предельного эффекта, показанные ниже.

а) Дайте интерпретацию МНК-регрессии и поясните, почему метод наимень­ших квадратов не является удовлетворительным методом оценивания для моде­ли данного типа;

б) Проанализировав график, обсудите разброс предельного эффекта АЯУАВС, неявно описанного в логит-регрессии;

40 60 АЭ^/АВС

в) Постройте графики для функций распределения вероятности и предельного эффекта для МНК-регрессии и сравните их с соответствующими графиками для логит-регрессии. В рассуждениях воспользуйтесь результатами, полученными при выполнении задания (а).