<<
>>

9.2. Смещение оценок в системах одновременных уравнений

Во многих (хотя и не во всех) системах одновременных уравнений уравне­ния приведенной формы выражают эндогенные переменные через все экзо­генные переменные и все случайные члены. Можно видеть, что это так и в случае модели связи общей инфляции и инфляции, связанной с ростом зара­ботной платы.
В нашей модели лишь одна экзогенная переменная U. Пере­менная w непосредственно зависит от нее; переменнаяр не зависит от нее на­прямую, но зависит опосредованно, поскольку она определяется величиной w. Аналогично, обе переменные р и w зависят от ир ир непосредственно и от w — опосредованно. Обе они также зависят от uw и w непосредственно и от р — опосредованно.

Зависимость w от ир означает, что в случае использования обычного МНК для оценивания (9.1) — уравнения структурной формы для р были бы получе­ны несостоятельные оценки. Величина w является стохастической объясня­ющей переменной, и ее случайная составляющая не распределена независимо от случайного члена и .

Аналогично, зависимость р от uw означает, что несо­стоятельные оценки были бы также получены при использовании обычного МНК для оценивания уравнения (9.2). Поскольку (9.1) есть уравнение парной регрессии, нетрудно рассмотреть смещение для МНК-оценки ß2 на большой выборке, что мы и сделаем. Выписав выражение для затем, как обычно, подставим в него выражение для р. Далее нам нужно сделать выбор. У нас есть два выражения для р, структурное уравнение (9.1) и уравнение приведенной формы (9.5). В конечном счете неважно, какое из них использовать, но при использовании структурного уравнения алгебраические выкладки несколько более наглядны, поскольку выражение для й21нк сразу распадается на истин­ное значение и составляющую ошибки. Далее, следовательно, мы можем сконцентрироваться на этой составляющей:

и и

X(Pi - P)(Wj - w) Xüßl + + «pil" Ißl + M + «p])(Wi - «0

дмнк _ ы_______________ м____________________________________

i>,.-w)2 i>,.-vv)2

1=1 1=1

n n

I(ß2(w(- - W)(w,.

- w) + (upi - üp)(Wi - w)) - üp)(Wi - w) = ------------------------ : ~„ = ß2 + M-i------ • (9.9)

/=1 1=1

Составляющая ошибки есть нелинейная функция от ир и от uw (вспомним, что w зависит от обеих этих переменных), и аналитическое выражение для ее

математического ожидания получить невозможно. Вместо этого мы исследу­ем ее предел по вероятности, воспользовавшись правилом, согласно которому предел по вероятности частного равен частному предела по вероятности чис­лителя и предела по вероятности знаменателя (если оба они существуют). Как показано в системе уравнений (9.9), ни числитель, ни знаменатель не имеют предела по вероятности. Но если мы разделим каждый из них на п, они будут стремиться к теоретической ковариации ир и и* и к теоретической дисперсии соответственно:

1 "

соу (цр,\у)

уаг(и>)

■ і=\
= Р2 +
(9.10)

р\іт-^(ирі - йр)(м>і - й>)

РИтЬ?нк = р2 +

1 "

р - йО2

(=1

Вначале мы рассмотрим со\(ир, >у). Нам необходимо подставить сюда выра­жение для и», и у нас снова два варианта: уравнение структурной формы (9.2) и уравнение приведенной формы (9.8). Мы выбираем (9.8), поскольку исполь­зование (9.2) снова добавило бы величину р и мы оказались бы в замкнутом круге:

1
соу(ы , и») = соу
"1-а2(32

(а! + а2Рі + аги + и„+ а 2и.)

1
(9.11)
1 - а2р2

соу (ир, [а! + а2Рі]) + а3 соу (ир, ii) + соу (ир, и„) + а2 соу (ир, ир)

Величина соу(и , [а, + сх2Э1]) = 0, поскольку [а! + а2р|] есть константа.

Зна­чение соу (и , II) = 0, если переменная II действительно экзогенна, как мы это предположили. Величина со\(ир, ик) будет равняться нулю в том случае, если случайные члены в структурных уравнениях независимы. Однако со\(ир, ир) не равна нулю, поскольку это — уят(ир). Следовательно,

а2°1
уаг(и.) =
(9.12)
1 - а2р2

а,

соу(и.,^) =

1 - а2Р2

Далее, для уаг(и>) имеем

ази + и„ + а2ир 1 - а2р2
уаг(и') = уаг
(9.13)
уаг

«12Рі | + иу,+а2ир 1 - а2Р2 1 - а2Р2

«і + а2Рі м

поскольку слагаемое —1---- «р- есть константа. Итак,

1-а2Рг

1
уаг(н») =
(9.14)
(1-а2Р2Г

уаг(а Зи) + уаг(г^) + уаг(а2ыр) + 2соу(а г11, ик) + + 2соу(а Ъи, а 2ир) + 2соу(ии„ а2ир)

і

Далее, если II, ир и ик распределены независимо, предельные значения дам трех их выборочных ковариаций равны нулю.

Следовательно,

уаг(м>) = -—-т(аз уаг([/) + уаг(и„) + а\ \ат(ир)) = (1-а2р2)

1 +а!о2). (9.15)

(1-а2р2) Таким образом,

2

РШ Й2МНК = Р2 + (1 - «2р2) 2 2 2 2 ' (9.16)

и 62мнк есть несостоятельная оценка Р2.

Направление смещения при оценивании систем одновременных уравне­ний зависит от структуры оцениваемой модели. Можно ли определить его в нашем случае? Дисперсия — всегда величина положительная (если только не равна нулю), а коэффициент а2 тоже должен быть положительным, поэтому направление смещения зависит от знака (1 - а2Р2). Судя по уравнению приве­денной формы (9.8), разумно предположить негативное воздействие на Ы со стороны и. Поскольку также разумно предположить, что а3 отрицательно, можно сделать вывод о положительности (1 - а2р2). Действительно, это есть условие равновесия в данной модели. Рассмотрим эффект приращения А11 ве­личины и. С точки зрения зависимости (9.2), его немедленное воздействие заключается в изменении IV в противоположном направлении на величину а3Аи. В соответствии с моделью (9.1) это, в свою очередь, меняетр на величи­ну на величину а2а3Р2Ди и затем, вернувшись к модели (9.1), вторичное измене­ние р на величину а2а3р2Д{/. Снова вернувшись к уравнению (9.2), обнаружи­ваем дальнейшее изменение на величину а2а3р2ДК Общее изменение у/, таким образом, после рассмотрения всех второстепенных эффектов, равно

А* = (1 + + ир\ (9.18)

и* = 2,5 + 0,5р -0,41/+ и . (9.19)

Размер выборки составил 20 наблюдений. Переменная и получила значе­ния 2; 2,25;..., возрастающие с шагом от 0,25 до 6,75. Величина ир была сгене­рирована как нормально распределенная случайная величина с нулевым ма­тематическим ожиданием и единичной дисперсией, умноженная затем на 0,8. Случайный член ик не влияет на несостоятельность коэффициентов регрес­сии при использовании обычного МНК для оценивания зависимости общей инфляции, поэтому для простоты он был опущен. Воспользовавшись выве­денными выше соотношениями, получаем, что При оценивании зависимости общей инфляции с помощью обычного МНК смещение равно 0,99. Ре­зультаты оценивания 10 регрессий, в каждой из которых использовались одни и те же значения и, но разные значения ир, показаны в табл. 9.1.

Таблица 9.1
Выборка ь, с.оЩ) ь2 с.о.(Ь2)
1 0,36 0,39 1,11 0,22
2 0,45 0,38 1,06 0,17
3 0,65 0,27 0,94 0,12
4 0,41 0,39 0,98 0,19
5 0,92 0,46 0,77 0,22
6 0,26 0,35 1,09 0,16
7 0,31 0,39 1,00 0,19
8 1,06 0,38 0,82 0,16
9 -0,08 0,36 1,16 0,18
10 1,12 0,43 0,69 0,20

Очевидно, что полученные оценки сильно смещены. Каждая из оценок ко­эффициента наклона превышает истинное значение, равное 0,5, и каждая оценка свободного члена ниже, чем его истинное значение 1,5. Среднее зна­чение коэффициента наклона равно 0,96, что недалеко от теоретического зна­чения рИш для МНК-оценки. Стандартные ошибки являются некорректными из-за нарушения предпосылки о том, что случайный член распределен неза­висимо от объясняющих переменных.

Затем мы повторили эксперимент д ля одного миллиона выборок, по-преж- нему используя одинаковые значения и, но разные случайные значения и . Распределение МНК-оценок коэффициента наклона показано на рис. 9.1 Почти все оценки коэффициента наклона превышают реальное значение 0,5, тем самым подтверждая вывод о наличии положительного смещения для большой выборки. Более того, учитывая, что среднее значение распределения равно 0,95, можно сказать, что величина рИш (0,99) является хорошим инди­катором величины смещения.

На рис. 9.2 показано, как возникает смещение. Пустые кружки на нем по­казывают, как выглядела бы зависимость между р и IV для 20 наблюдений в случае отсутствия случайного члена. Появление случайного члена ир меняет значения как р, так и у/ в каждом наблюдении. Как можно видеть из уравне­ний приведенной формы, оно увеличивает значениер на величину ир/( 1 - а2(32) и значение IV — на величину а2ир/(\ - а2Р2). Отсюда следует то, что сдвиг про­исходит вдоль прямой с коэффициентом наклона 1/а2. Черные кружки пред-

Рис. 9.1

О 1 2 3 4 ш

Рис. 9.2

ставляют фактические наблюдения после введения ир. Для каждого наблюде­ния изображена линия сдвига. В результате множество точек наблюдений де­формируется, и оцениваемый по МНК коэффициент наклона представляет собой компромисс между коэффициентами наклона истинной зависимости (|32) и линий сдвига (1/а2). Это можно показать математически, переписав уравнение (9.16):

2

рШЬ?ик = р2 + (1 - а2р2) 2 2 а2°"> 2 2 =

2 2 «2<

2 2 2 2 2

= р2 + — -р2

Ч«2

„2—2
«з ор+о;
= Р„
(9.20)
2 2 2 2 2
а,

2 2 а2<

2 2 2 2 2

Таким образом, рИт621НК есть средневзвешенное от р2 и 1/02, и смещение

пропорционально дисперсии ир.

Упражнения

9.2*. В макроэкономической модели

С=р1 + р2Г+м, ¥=С+1,

описанной в упражнении 9.1, Покажите, что МНК дает несостоятельные оценки для функции потребления, и исследуйте направление смещения для коэффици­ента наклона.

9.3. Исследователь изучает влияние рекламы на объемы продаж по данным пере­крестной выборки по фирмам, производящим товары для отдыха. Для каждой фирмы имеются данные об объеме продаж 5 и расходах на рекламу А, измерен­ные в соответствующих единицах для одного из последних лет. Исследователь предлагает следующую модель:

1У=Р1 + Р2Л + и5, А = ах + 0^5+иА,

где и5 и иА — случайные члены. Первая зависимость отражает положительное воздействие рекламы на объемы продаж, а второе — то, что фирмы с наиболее крупными объемами продаж обычно тратят на рекламу больше, чем другие. Вы­полните математическое исследование того, что случилось бы при попытке ис­следователя применить для оценивания этой модели обычный МНК.

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Учебник. 3-е изд. / Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, — XIV, 465 с. — (Университетский учебник).. 2009

Еще по теме 9.2. Смещение оценок в системах одновременных уравнений:

  1. 11.1. Смещение при оценке одновременных уравнений
  2. 9.1. Модели в виде одновременных уравнений: структурная и приведенная форма уравнений
  3. 11. ОЦЕНИВАНИЕ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
  4. 9.ОЦЕНИВАНИЕ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
  5. 6.3.3. Применение организацией упрощенной системы налогообложения одновременно с системой налогообложения в виде ЕНВД
  6. Заключение: смещение границ «неформальности»
  7. 10.5. Смещение при построении выборки
  8. 6.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНКУРЕНТНОГО АНАЛИЗА 6.2.1. Система показателей и оценок конкурентного анализа
  9. 8.3. Асимптотические свойства оценок регрессии поМНК
  10. 5.5. Интеграция экспертных оценок
  11. Метод экспертных оценок