9.2. Смещение оценок в системах одновременных уравнений
Зависимость w от ир означает, что в случае использования обычного МНК для оценивания (9.1) — уравнения структурной формы для р были бы получены несостоятельные оценки. Величина w является стохастической объясняющей переменной, и ее случайная составляющая не распределена независимо от случайного члена и .
Аналогично, зависимость р от uw означает, что несостоятельные оценки были бы также получены при использовании обычного МНК для оценивания уравнения (9.2). Поскольку (9.1) есть уравнение парной регрессии, нетрудно рассмотреть смещение для МНК-оценки ß2 на большой выборке, что мы и сделаем. Выписав выражение для затем, как обычно, подставим в него выражение для р. Далее нам нужно сделать выбор. У нас есть два выражения для р, структурное уравнение (9.1) и уравнение приведенной формы (9.5). В конечном счете неважно, какое из них использовать, но при использовании структурного уравнения алгебраические выкладки несколько более наглядны, поскольку выражение для й21нк сразу распадается на истинное значение и составляющую ошибки. Далее, следовательно, мы можем сконцентрироваться на этой составляющей:и и
X(Pi - P)(Wj - w) Xüßl + + «pil" Ißl + M + «p])(Wi - «0
дмнк _ ы_______________ м____________________________________
i>,.-w)2 i>,.-vv)2
1=1 1=1
n n
I(ß2(w(- - W)(w,.
- w) + (upi - üp)(Wi - w)) - üp)(Wi - w) = ------------------------ : ~„ = ß2 + M-i------ • (9.9)/=1 1=1
Составляющая ошибки есть нелинейная функция от ир и от uw (вспомним, что w зависит от обеих этих переменных), и аналитическое выражение для ее
математического ожидания получить невозможно. Вместо этого мы исследуем ее предел по вероятности, воспользовавшись правилом, согласно которому предел по вероятности частного равен частному предела по вероятности числителя и предела по вероятности знаменателя (если оба они существуют). Как показано в системе уравнений (9.9), ни числитель, ни знаменатель не имеют предела по вероятности. Но если мы разделим каждый из них на п, они будут стремиться к теоретической ковариации ир и и* и к теоретической дисперсии соответственно:
1 "
соу (цр,\у) уаг(и>) |
■ і=\ |
= Р2 + |
(9.10) |
р\іт-^(ирі - йр)(м>і - й>)
РИтЬ?нк = р2 +
1 "
р - йО2
(=1
Вначале мы рассмотрим со\(ир, >у). Нам необходимо подставить сюда выражение для и», и у нас снова два варианта: уравнение структурной формы (9.2) и уравнение приведенной формы (9.8). Мы выбираем (9.8), поскольку использование (9.2) снова добавило бы величину р и мы оказались бы в замкнутом круге:
1 |
соу(ы , и») = соу |
"1-а2(32 |
(а! + а2Рі + аги + и„+ а 2и.)
1 |
(9.11) |
1 - а2р2 |
соу (ир, [а! + а2Рі]) + а3 соу (ир, ii) + соу (ир, и„) + а2 соу (ир, ир)
Величина соу(и , [а, + сх2Э1]) = 0, поскольку [а! + а2р|] есть константа.
Значение соу (и , II) = 0, если переменная II действительно экзогенна, как мы это предположили. Величина со\(ир, ик) будет равняться нулю в том случае, если случайные члены в структурных уравнениях независимы. Однако со\(ир, ир) не равна нулю, поскольку это — уят(ир). Следовательно,
а2°1 |
уаг(и.) = |
(9.12) |
1 - а2р2 |
а,
соу(и.,^) =
1 - а2Р2
Далее, для уаг(и>) имеем
ази + и„ + а2ир 1 - а2р2 |
уаг(и') = уаг |
(9.13) |
уаг |
«1+а2Рі | + иу,+а2ир 1 - а2Р2 1 - а2Р2
«і + а2Рі м
поскольку слагаемое —1---- «р- есть константа. Итак,
1-а2Рг
1 |
уаг(н») = |
(9.14) |
(1-а2Р2Г |
уаг(а Зи) + уаг(г^) + уаг(а2ыр) + 2соу(а г11, ик) + + 2соу(а Ъи, а 2ир) + 2соу(ии„ а2ир)
і |
Далее, если II, ир и ик распределены независимо, предельные значения дам трех их выборочных ковариаций равны нулю.
Следовательно,
уаг(м>) = -—-т(аз уаг([/) + уаг(и„) + а\ \ат(ир)) = (1-а2р2)
1 +а!о2). (9.15)
(1-а2р2) Таким образом,
2
РШ Й2МНК = Р2 + (1 - «2р2) 2 2 2 2 ' (9.16)
и 62мнк есть несостоятельная оценка Р2.
Направление смещения при оценивании систем одновременных уравнений зависит от структуры оцениваемой модели. Можно ли определить его в нашем случае? Дисперсия — всегда величина положительная (если только не равна нулю), а коэффициент а2 тоже должен быть положительным, поэтому направление смещения зависит от знака (1 - а2Р2). Судя по уравнению приведенной формы (9.8), разумно предположить негативное воздействие на Ы со стороны и. Поскольку также разумно предположить, что а3 отрицательно, можно сделать вывод о положительности (1 - а2р2). Действительно, это есть условие равновесия в данной модели. Рассмотрим эффект приращения А11 величины и. С точки зрения зависимости (9.2), его немедленное воздействие заключается в изменении IV в противоположном направлении на величину а3Аи. В соответствии с моделью (9.1) это, в свою очередь, меняетр на величину на величину а2а3Р2Ди и затем, вернувшись к модели (9.1), вторичное изменение р на величину а2а3р2Д{/. Снова вернувшись к уравнению (9.2), обнаруживаем дальнейшее изменение на величину а2а3р2ДК Общее изменение у/, таким образом, после рассмотрения всех второстепенных эффектов, равно
А* = (1 + + ир\ (9.18)
и* = 2,5 + 0,5р -0,41/+ и . (9.19)
Размер выборки составил 20 наблюдений. Переменная и получила значения 2; 2,25;..., возрастающие с шагом от 0,25 до 6,75. Величина ир была сгенерирована как нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, умноженная затем на 0,8. Случайный член ик не влияет на несостоятельность коэффициентов регрессии при использовании обычного МНК для оценивания зависимости общей инфляции, поэтому для простоты он был опущен. Воспользовавшись выведенными выше соотношениями, получаем, что При оценивании зависимости общей инфляции с помощью обычного МНК смещение равно 0,99. Результаты оценивания 10 регрессий, в каждой из которых использовались одни и те же значения и, но разные значения ир, показаны в табл. 9.1.
Таблица 9.1
|
Очевидно, что полученные оценки сильно смещены. Каждая из оценок коэффициента наклона превышает истинное значение, равное 0,5, и каждая оценка свободного члена ниже, чем его истинное значение 1,5. Среднее значение коэффициента наклона равно 0,96, что недалеко от теоретического значения рИш для МНК-оценки. Стандартные ошибки являются некорректными из-за нарушения предпосылки о том, что случайный член распределен независимо от объясняющих переменных.
Затем мы повторили эксперимент д ля одного миллиона выборок, по-преж- нему используя одинаковые значения и, но разные случайные значения и . Распределение МНК-оценок коэффициента наклона показано на рис. 9.1 Почти все оценки коэффициента наклона превышают реальное значение 0,5, тем самым подтверждая вывод о наличии положительного смещения для большой выборки. Более того, учитывая, что среднее значение распределения равно 0,95, можно сказать, что величина рИш (0,99) является хорошим индикатором величины смещения.
На рис. 9.2 показано, как возникает смещение. Пустые кружки на нем показывают, как выглядела бы зависимость между р и IV для 20 наблюдений в случае отсутствия случайного члена. Появление случайного члена ир меняет значения как р, так и у/ в каждом наблюдении. Как можно видеть из уравнений приведенной формы, оно увеличивает значениер на величину ир/( 1 - а2(32) и значение IV — на величину а2ир/(\ - а2Р2). Отсюда следует то, что сдвиг происходит вдоль прямой с коэффициентом наклона 1/а2. Черные кружки пред-
Рис. 9.1 |
О 1 2 3 4 ш Рис. 9.2 |
ставляют фактические наблюдения после введения ир. Для каждого наблюдения изображена линия сдвига. В результате множество точек наблюдений деформируется, и оцениваемый по МНК коэффициент наклона представляет собой компромисс между коэффициентами наклона истинной зависимости (|32) и линий сдвига (1/а2). Это можно показать математически, переписав уравнение (9.16):
2
рШЬ?ик = р2 + (1 - а2р2) 2 2 а2°"> 2 2 =
2 2 «2< 2 2 2 2 2 |
= р2 + — -р2
Ч«2
„2—2 |
«з ор+о; |
= Р„ |
(9.20) |
2 2 2 2 2 |
а, |
2 2 а2<
2 2 2 2 2
Таким образом, рИт621НК есть средневзвешенное от р2 и 1/02, и смещение
пропорционально дисперсии ир.
Упражнения
9.2*. В макроэкономической модели
С=р1 + р2Г+м, ¥=С+1,
описанной в упражнении 9.1, Покажите, что МНК дает несостоятельные оценки для функции потребления, и исследуйте направление смещения для коэффициента наклона.
9.3. Исследователь изучает влияние рекламы на объемы продаж по данным перекрестной выборки по фирмам, производящим товары для отдыха. Для каждой фирмы имеются данные об объеме продаж 5 и расходах на рекламу А, измеренные в соответствующих единицах для одного из последних лет. Исследователь предлагает следующую модель:
1У=Р1 + Р2Л + и5, А = ах + 0^5+иА,
где и5 и иА — случайные члены. Первая зависимость отражает положительное воздействие рекламы на объемы продаж, а второе — то, что фирмы с наиболее крупными объемами продаж обычно тратят на рекламу больше, чем другие. Выполните математическое исследование того, что случилось бы при попытке исследователя применить для оценивания этой модели обычный МНК.
Еще по теме 9.2. Смещение оценок в системах одновременных уравнений:
- 11.1. Смещение при оценке одновременных уравнений
- 9.1. Модели в виде одновременных уравнений: структурная и приведенная форма уравнений
- 11. ОЦЕНИВАНИЕ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
- 9.ОЦЕНИВАНИЕ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
- 6.3.3. Применение организацией упрощенной системы налогообложения одновременно с системой налогообложения в виде ЕНВД
- Заключение: смещение границ «неформальности»
- 10.5. Смещение при построении выборки
- 6.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНКУРЕНТНОГО АНАЛИЗА 6.2.1. Система показателей и оценок конкурентного анализа
- 8.3. Асимптотические свойства оценок регрессии поМНК
- 5.5. Интеграция экспертных оценок
- Метод экспертных оценок