<<
>>

1.2. Несколько основных правил расчета ковариации

Есть несколько важных правил, которые вытекают непосредственно из оп­ределения ковариации. Поскольку они будут многократно использоваться в последующих главах, имеет смысл сформулировать их сейчас:

Правило 1

Если у = v + w, то Cov (х, у) = Cov (х, у) + Cov (х, и>).

Правило 2

Если у = az, где a — константа, то Cov (х, у) = a Cov (х, z). Правило 3

Если у = а, где а — константа, то Cov (х, у) = 0.

Сначала эти правила будут проиллюстрированы на примерах, и мы прове­рим их выполнение, после чего будут приведены доказательства. В большей части данной книги важнее понимать, что означают эти правила и как ими пользоваться, чем уметь доказывать их, но на самом деле доказательства не­трудны.

Демонстрация и доказательство правила 1

Допустим, что у нас есть данные по шести семьям (домохозяйствам), при­веденные в табл. 1.3: общий годовой доход (х); расходы на питание и одежду (у);

Таблица 1.3
Семья Доход семьи

W

Расходы на питание и одежду

(У)

Расходы на питание Расходы на одежду

Вторая выборка: расходы семьи на питание и одежду

И

1 3000 1100 850 250 2200
2 2500 850 700 150 1700
3 4000 1200 950 250 2400
4 6000 1600 1150 450 3200
5 3300 1000 800 200 2000
6 4500 1300 950 350 2600
Сумма 23300 7050 5400 1650 14100
Среднее 3883 1175 900 275 2350

расходы на питание (v) и расходы на одежду (н>).

Естественно, у равняется сум­ме V и н\ Указанную в таблице величину г рассматривать пока не будем.

В табл. 1.4 величины (х-х), (у-у), (у-у) и (\v--w) вычисляются для каждой семьи. Отсюда получаем (х-х)(у-у), (х-х)(у-у) и (х-х)(\у-п) для каждой семьи. Соу (х,у) получается как среднее величин (х-х)(у~у) и равняется 266 250. Аналогично Со\(х,у) равна 157 500 и Со\(х,м>) = 108 750. Мы проверили, что Соу(х,у) является суммой Со\(х, у) Со\(х, у) и Соу(х,м>).

Таблица 1.4
Семья х-X у-у (х- х)(у-у) (V-V) Сx-x)(v- v) {w - w) (x - x)(w - w)
1 -883 -75 66250 -50 44167 -25 22083
2 -1383 -325 449583 -200 276667 -125 172917
3 117 25 2917 50 5833 -25 -2917
4 2117 425 899583 250 529167 175 370416
5 -583 -175 102083 -100 58333 -75 43750
6 617 125 77083 50 30833 75 46250
Сумма Среднее 1597500 266250 945000 157500 652500 108750

Легко показать, что именно так и должно быть.

Рассмотрим /-ю семью. (хі-х)(уі-у) — это ее вклад в величину Со\(х,у). Поскольку = V,-+ и

у = у -ь м>, то

(х,- - Х)(уі - у) = (х,- - х)(у7 + у^ - у - и>) = (х,- - х)(у7 - v) + (ху - х)(н'/ - и>), (1.2)

и, таким образом, мы показали, что вклад семьи / в Соу(х, у) является суммой ее вкладов в Соу(х, у) и Соу(х, >у). То же самое справедливо для всех семей и, соответственно, для ковариации в целом.

Демонстрация и доказательство правила 2

В табл. 1.3 последняя колонка (г) дает расходы на питание и одежду для вто­рого множества из 6 семей. Каждое наблюдение z фактически представляет со­бой удвоенное значение^. Предполагается, что значения величиных для второ­го набора семей являются такими же, как и ранее. Для вычисления Соу(х, г)

нам, как и ранее, необходимы значения (х-х), а также {г-г) (табл. 1.5).

Таблица 1.5
Семья {Х-х) (х-х)(г-г)
1 -883 -150 132500
2 -1383 -650 899167
3 117 50 5833
4 2117 850 1700167
5 -583 -350 204167
6 617 250 154167
Сумма Среднее 3195000 532500

Из табл.

1.5 можно видеть, что Соу(х, г) равна 532 500, что в точности рав­но удвоенной Соу(х, у). Таким образом мы проверили, что Соу(х, 2у) совпа­дает с 2Соу(х,.у).

И снова легко видеть, почему так получается. Рассмотрим первую семью. Поскольку 1х = 2ух и г = 2у, а -х)(^ - Ь равно (х{-х)(2у{-2у) и, следова­тельно, равно 2(х{ -х)(ух - у), то вклад первой семьи в величину Соу(х, г) в точности равен двойной величине ее вклада в Соу(х, у). То же самое справед­ливо для всех других семей. Средняя величина (x-x)(z-z) поэтому равна уд­военной средней величине (х -х)(у -у) и, таким образом, Со\(х, т) = 2Со\(х, у). Обобщая, получим, что если г = ау (и отсюда 1-ау), то

Соу(х, I) = 2Со\(х, = (*/ - *)(*/ = (*/ " *)(*>7 " =

= " *)(У/ - 30 = *Соу(х>3;). (1.3)

Демонстрация и доказательство правила 3

Это совсем просто. Допустим, что каждая семья в выборке имеет по два взрос­лых человека, и предположим, что по недоразумению вы решили вычислить ковариацию между общим доходом (х) и числом взрослых в семье (я). Естествен­но, что а{ = а2 =... = а6 = 2. Таким образом, а = 2. Отсюда для каждой семьи (а - а) = 0 и, следовательно, (х - х)(а -а) = 0. Поэтому Соу(х, а) = 0.

Если вы настаиваете на построении обычно используемой в таких случаях таблицы, то она будет выглядеть как табл. 1.6.

Таблица 1.6
Семья X а (а-а)
1 3000 2 -883 0 0
2 2500 2 -1383 0 0
3 4000 2 117 0 0
4 6000 2 2117 0 0
5 3300 2 -583 0 0
6 4500 2 617 0 0
Сумма 23300 12 0
Среднее 3883 2 0

Дальнейшие выводы

Пользуясь этими основными правилами, вы можете упрощать значитель­но более сложные выражения с ковариациями. Например, если какая-то пе­ременная равна сумме трех переменных — и, у и и>, то, пользуясь правилом 1 и разбив у на две части (и и V + и>), получим:

Соу(*, у) = Соу(х, и + v + и>) = Соу(лг, и) + Соу(х, v + и>) (1.4)

и, снова воспользовавшись правилом 1, имеем:

Соу(х, у) = Соу(х, и) + Соу(х, у) + Соу(х, и>). (1.5)

Другой пример: если у = а + Ь1, где а и Ь — константы, ы— переменная ве­личина, то, пользуясь последовательно правилами 1, 3 к 2, получим:

Соу(х, у) = Соу(х, а) + Сот(х, = 0 + Соу(х, = £Сот(х, г). (1.6)

При наличии небольшой практики выполнить эти преобразования не со­ставит труда.

<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — M.: ИНФРА-М, — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме 1.2. Несколько основных правил расчета ковариации:

  1. Несколько правил поведения (вместо выводов)
  2. S 2.6. Эмпирический анализ: расчет ставки рефинансирования по правилу Тэйлора
  3. Признание страховых взносов, уплаченных в несколько этапов при расчете налога на прибыль
  4. 1.4. Взаимоотношения между формальными и неформальными правилами 1.4.1. Основные типы взаимоотношений между формальными и неформальными правилами
  5. 1.4. Теоретическая ковариация
  6. 1.1. Выборочная ковариация
  7. 1.3. Альтернативное выражение для выборочной ковариации
  8. 1.9. Почему ковариация не является хорошей мерой связи?
  9. КОВАРИАЦИЯ, ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
  10. 50. Основные способы расчетов
  11. Основные формы международных расчетов.
  12. Право на несколько вычетов
  13. Несколько классических комбинаций
  14. 3.6 Несколько практических предложений
  15. 8.3. Основные формы безналичных расчетов