1.2. Несколько основных правил расчета ковариации
Правило 1
Если у = v + w, то Cov (х, у) = Cov (х, у) + Cov (х, и>).
Правило 2Если у = az, где a — константа, то Cov (х, у) = a Cov (х, z). Правило 3
Если у = а, где а — константа, то Cov (х, у) = 0.
Сначала эти правила будут проиллюстрированы на примерах, и мы проверим их выполнение, после чего будут приведены доказательства. В большей части данной книги важнее понимать, что означают эти правила и как ими пользоваться, чем уметь доказывать их, но на самом деле доказательства нетрудны.
Демонстрация и доказательство правила 1
Допустим, что у нас есть данные по шести семьям (домохозяйствам), приведенные в табл. 1.3: общий годовой доход (х); расходы на питание и одежду (у);
Таблица 1.3
|
расходы на питание (v) и расходы на одежду (н>).
Естественно, у равняется сумме V и н\ Указанную в таблице величину г рассматривать пока не будем.В табл. 1.4 величины (х-х), (у-у), (у-у) и (\v--w) вычисляются для каждой семьи. Отсюда получаем (х-х)(у-у), (х-х)(у-у) и (х-х)(\у-п) для каждой семьи. Соу (х,у) получается как среднее величин (х-х)(у~у) и равняется 266 250. Аналогично Со\(х,у) равна 157 500 и Со\(х,м>) = 108 750. Мы проверили, что Соу(х,у) является суммой Со\(х, у) Со\(х, у) и Соу(х,м>).
Таблица 1.4
|
Легко показать, что именно так и должно быть.
Рассмотрим /-ю семью. (хі-х)(уі-у) — это ее вклад в величину Со\(х,у). Поскольку = V,-+ иу = у -ь м>, то
(х,- - Х)(уі - у) = (х,- - х)(у7 + у^ - у - и>) = (х,- - х)(у7 - v) + (ху - х)(н'/ - и>), (1.2)
и, таким образом, мы показали, что вклад семьи / в Соу(х, у) является суммой ее вкладов в Соу(х, у) и Соу(х, >у). То же самое справедливо для всех семей и, соответственно, для ковариации в целом.
Демонстрация и доказательство правила 2
В табл. 1.3 последняя колонка (г) дает расходы на питание и одежду для второго множества из 6 семей. Каждое наблюдение z фактически представляет собой удвоенное значение^. Предполагается, что значения величиных для второго набора семей являются такими же, как и ранее. Для вычисления Соу(х, г)
нам, как и ранее, необходимы значения (х-х), а также {г-г) (табл. 1.5).
Таблица 1.5
|
Из табл.
1.5 можно видеть, что Соу(х, г) равна 532 500, что в точности равно удвоенной Соу(х, у). Таким образом мы проверили, что Соу(х, 2у) совпадает с 2Соу(х,.у).И снова легко видеть, почему так получается. Рассмотрим первую семью. Поскольку 1х = 2ух и г = 2у, а -х)(^ - Ь равно (х{-х)(2у{-2у) и, следовательно, равно 2(х{ -х)(ух - у), то вклад первой семьи в величину Соу(х, г) в точности равен двойной величине ее вклада в Соу(х, у). То же самое справедливо для всех других семей. Средняя величина (x-x)(z-z) поэтому равна удвоенной средней величине (х -х)(у -у) и, таким образом, Со\(х, т) = 2Со\(х, у). Обобщая, получим, что если г = ау (и отсюда 1-ау), то
Соу(х, I) = 2Со\(х, = (*/ - *)(*/ = (*/ " *)(*>7 " =
= " *)(У/ - 30 = *Соу(х>3;). (1.3)
Демонстрация и доказательство правила 3
Это совсем просто. Допустим, что каждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, и предположим, что по недоразумению вы решили вычислить ковариацию между общим доходом (х) и числом взрослых в семье (я). Естественно, что а{ = а2 =... = а6 = 2. Таким образом, а = 2. Отсюда для каждой семьи (а - а) = 0 и, следовательно, (х - х)(а -а) = 0. Поэтому Соу(х, а) = 0.
Если вы настаиваете на построении обычно используемой в таких случаях таблицы, то она будет выглядеть как табл. 1.6.
Таблица 1.6
|
Дальнейшие выводы
Пользуясь этими основными правилами, вы можете упрощать значительно более сложные выражения с ковариациями. Например, если какая-то переменная равна сумме трех переменных — и, у и и>, то, пользуясь правилом 1 и разбив у на две части (и и V + и>), получим:
Соу(*, у) = Соу(х, и + v + и>) = Соу(лг, и) + Соу(х, v + и>) (1.4)
и, снова воспользовавшись правилом 1, имеем:
Соу(х, у) = Соу(х, и) + Соу(х, у) + Соу(х, и>). (1.5)
Другой пример: если у = а + Ь1, где а и Ь — константы, ы— переменная величина, то, пользуясь последовательно правилами 1, 3 к 2, получим:
Соу(х, у) = Соу(х, а) + Сот(х, = 0 + Соу(х, = £Сот(х, г). (1.6)
При наличии небольшой практики выполнить эти преобразования не составит труда.
Еще по теме 1.2. Несколько основных правил расчета ковариации:
- Несколько правил поведения (вместо выводов)
- S 2.6. Эмпирический анализ: расчет ставки рефинансирования по правилу Тэйлора
- Признание страховых взносов, уплаченных в несколько этапов при расчете налога на прибыль
- 1.4. Взаимоотношения между формальными и неформальными правилами 1.4.1. Основные типы взаимоотношений между формальными и неформальными правилами
- 1.4. Теоретическая ковариация
- 1.1. Выборочная ковариация
- 1.3. Альтернативное выражение для выборочной ковариации
- 1.9. Почему ковариация не является хорошей мерой связи?
- КОВАРИАЦИЯ, ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
- 50. Основные способы расчетов
- Основные формы международных расчетов.
- Право на несколько вычетов
- Несколько классических комбинаций
- 3.6 Несколько практических предложений
- 8.3. Основные формы безналичных расчетов