11.8. Условие размерности для идентификации
Предположим, однако, что в уравнение не включено у эндогенных переменных. Тогда нам понадобится лишь (С — 1 —]) инструментальных переменных, то есть (Сг — 1 — у) экзогенных переменных не должны быть включены в это уравнение. Однако общее число невключенных переменных остается прежним: у эндогенных переменных и (С — 1 —]) экзогенных переменных составляют в сумме С — 1.
Таким образом, мы приходим к общему выводу о том, что уравнение в модели с одновременными уравнениями наверняка окажется идентифицируемым, если в него не включено (Сг — 1) или более переменных. Если не включено точно (С - 1) переменных, оно, скорее всего, будет однозначно определенным, и в этом случае к одинаковым результатам приведет применение КМНК или метода ИП. Если не включено более (С? -1) переменных, уравнение будет переопределенным, и для его оценки используется ДМНК.
Это правило известно как условие размерности для идентификации. Здесь необходимо подчеркнуть, что данное условие является необходимым для идентификации, но вовсе не достаточным. Имеются случаи, которые мы не будем рассматривать здесь, когда уравнение является на самом деле недоопределен- ным, однако условие размерности для него выполняется.
Нулевые и не нулевые ограничения
Исключение (С — 1) переменных из уравнения может рассматриваться как утверждение, что коэффициенты при этих переменных в уравнении равны нулю.
Представляя условие размерности формально, мы можем утверждать, что уравнение наверняка является идентифицируемым, если оно содержит С — 1 (или больше) нулевых ограничений.рднако это не единственный вид ограничений, который может приводить к идентифицируемости уравнения. Рассмотрим также три других вида ограничений.
Внешняя информация
При наличии внешней информации ее можно использовать для преодоления недоопределенности модели. Самый простой пример — это возможность получить независимую оценку одного из структурных параметров на другом множестве данных.
Рассмотрим снова вариант уравнений спроса и предложения из раздела 11.5 и предположим, что имеются приведенные формы уравнений регрессии (11.31) и (11.32). Из них мы получили четыре уравнения с пятью неизвестными (11.34). Уравнение предложения оказалось идентифицируемым, уравнение спроса — нет.
Однако допустим, что появилась возможность получить оценку коэффициента при показателе дохода из другого источника например, применяя регрессионный анализ к данным перекрестной выборки, как это описано в разделе 5.5. [До этого уравнения (11.31) и (11.32) были оценены на временных рядах.] Теперь имеются четыре уравнения с четырьмя неизвестными, и можно получить решение полностью, идентифицировав как уравнение предложения, так и уравнение спроса.
(11.48) (11.49) |
(11.50) (Н.51) |
12 — 2р + 0,1х; £=2 + 3/,. |
Описанный подход скрывает две опасности, о которых всегда следует помнить. Во-первых, точность внешней оценки определяет точность получаемых с ее помощью оценок параметров. Во-вторых, имеется риск того, что значение коэффициента для внешней оценки отличается от его значения в модели. Обе эти проблемы рассматриваются в разделе 5.5. |
Предположим для примера, что на множестве структурных данных вы получили оценку с, равную 0,1.
Кроме того, уже были оценены ранее d= 2 и е = 3 [см. уравнения (11.35) и (11.36)]. Теперь, зная величину с, можно использовать первые две части уравнения (11.34) для расчета а и Ь:с/{е-Ь) = 0,1/(3 — Ь) = 0,02; (а -d)/(e-b) = (а -2)/(3 - Ъ) = 2,0.
Из первого уравнения можно получить Ь = —2, из второго а= 12. В итоге оцененные структурные уравнения имеют вид:
Соотношение между коэффициентами
В некоторых случаях неидентифицируемая модель может быть идентифицирована заданием соотношения между структурными коэффициентами. Это можно объяснить на другом примере с использованием модели спроса и предложения. Предположим, что продавцы товара облагаются специальным налогом Т, который они должны платить из выручки. Уравнение спроса остается неизменным, если переменная р обозначает рыночную цену на товар. Однако уравнение предложения изменяется под воздействием размера налога:
д^а + Р/7 + и,; (11.52)
у5 = 5 + гр + ХТ + и5, (11.53)
и X, как ожидается, принимает отрицательное значение.
Прежде чем рассуждать далее, заметим, что уравнение спроса будет идентифицируемо, поскольку переменная Г не включена в него и может выступать как инструментальная для р (мы предполагаем, что значение Г изменялось во временном периоде, представленном выборкой данных), тем не менее уравнение предложения является неидентифицируемым. В то же время мы можем улучшить спецификацию модели. Вполне обоснованным является предположение о том, что продавцы товара реагируют на сумму, которую они получают после уплаты налога, т. е. на (р - Т), и уравнение (11.53) может быть переписано в виде:
у5 — Ь + г (р — Т) + и5. (11.54)
Другими словами, мы ввели ограничение X = — е. Это сделало уравнение предложения идентифицируемым. Если использовать КМНК для оценивания исходной модели, то соотношения в приведенной форме, выражающие у и р через Г, представляли бы четыре уравнения с пятью неизвестными. Введенное ограничение добавляет еще одно уравнение, и в итоге все структурные параметры могут быть однозначно оценены.
При использовании метода ИП можно рассматривать новую версию модели как систему из четырех уравнений:
(11.55)
(11.56)
(11.57)
= (11.58)
где р* — цена, получаемая продавцом товара, а уравнение (11.57) является тождеством. Переменная Т не включена в уравнение спроса, поэтому она может использоваться как инструментальная для р. Точно так же эта переменная не включена в уравнение предложения, поэтому она может использоваться как инструментальная для р\ В итоге оба уравнения оказываются определенными.
уе/ = а + Р/7 + и у5 = 6 + гр* + и5\ Р* = Р - т- |
Не нулевое ограничение, как и нулевое ограничение, позволяет исключить одну объясняющую переменную из уравнения. Если эта переменная эндогенная, то уже не нужно искать для нее инструментальную переменную. Если эта переменная экзогенная, то она освобождается на роль инструментальной для одной из эндогенных переменных, оставшихся в уравнении.
Ограничения на распределение случайных членов
В модели спроса и предложения мы считали, что случайные члены иа и ы8
имеют дисперсию и соответственно, ковариация между ними равна
+ а 2У+ и
Я* = Ро + 01Р +
Чш = Уо+ У\Р + У2™ + ип,>
где р — цена товара на внутреннем рынке; и> — цена товара на мировом рынке; У — совокупный доход страны; иф и$, ит — случайные члены, распределенные независимо друг от друга. Все переменные имеют индекс опущенный для удобства. В каждый момент времени рынок находится в равновесии:
Я* = Чж + Ят-
Имеются временные ряды значений каждой из переменных за 25 лет.
1) Объясните, почему попытка оценить эти три уравнения с помощью МНК приведет к получению несостоятельных оценок.
2) Как вы считаете, в каком направлении будет смещена оценка Рр полученная с помощью МНК? Обоснуйте ваш ответ.
3) Объясните, возможно ли получение состоятельных оценок коэффициентов данных трех уравнений, и опишите ваши действия для достижения этого результата.
11.13. Пусть уравнения регрессии в приведенной форме в модели, задаваемой (11.52) и (11.53), имеют вид:
р = 40 + 0,6 Т;
у = 70- 1,2 Г.
Выведите оценки а, р, 5 и £, используя ограничение X = —с.
Еще по теме 11.8. Условие размерности для идентификации:
- Связь межвременных условий платежеспособности с условиями для отдельного периода
- Идентификация
- Идентификация рисков
- Идентификация актов
- Условия для кооперирования
- Условия, необходимые для договоров данного вида.
- ИДЕНТИФИКАЦИЯ СОЦИАЛЬНАЯ
- Идентификация потенциальных расширений
- 1.4. Создание условий для эффективного землепользования
- УСЛОВИЯ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ УПРОЩЕННОЙ СИСТЕМЫ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ
- Действование, акты-идентификации и коммуникативная интенция
- Общие условия для работы по командному развитию
- Создание условий для эффективного использования кадров
- Благоприятные условия для глобальных брендов
- Идентификация социальных классов
- Идентификация социальных классов
- 2. Механизм политической идентификации
- Основания для отказа в государственной регистрации условий эмиссии